Kezdőlap


Feladat:	Gy.2151	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Deli Richárd
Füzet:	1984/április, 166 - 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számkörök, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/november: Gy.2151

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $A$ -val azt a számot, amelynek tízes számrendszerbeli alakja $n$ darab $1$ -esből áll. Ekkor

\begin{matrix} {\underset{︸}{111 ... 1}}_{2 n db}^{} = 10^{n} \cdot A + A, {\underset{︸}{22 ... 2}}_{n db}^{} = 2 A, és {\underset{︸}{33 ... 3}}_{n db}^{} = 3 A, \end{matrix}

vagyis a bizonyítandó állítás a

\begin{matrix} \sqrt[]{(10^{n} + 1) A - 2 A} = 3 A \end{matrix}

alakot ölti. Mivel

10^{n} - 1 = {\underset{︸}{99 ... 9}}_{n db}^{}

éppen

9 A

, így a négyzetgyök alatt

9 A^{2}

áll. Az egyenlőség tehát valóban igaz, hiszen

A

pozitív.