Kezdőlap


Feladat:	Gy.2149	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1984/február, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások, Szögfelező egyenes, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/október: Gy.2149

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a háromszög szögeit a szokásos módon $α$ , $β$ , $γ$ -val. A pontok a körülírt körön $A C_{1} B A_{1} C B_{1} A$ sorrendben helyezkednek el, így a $B_{1} C_{1}$ és az $A A_{1}$ húrok metszik egymást, jelöljük a metszéspontot $M$ -mel. Azt kell megmutatnunk, hogy az $A M C_{1}$ háromszög derékszögű, vagyis hogy

\begin{matrix} M C_{1} A ∢ + C_{1} A M ∢ = 90^{\circ} . \end{matrix}

(1)

A kerületi szögekre vonatkozó tételek alapján

\begin{matrix} M C_{1} A ∢ = B_{1} C_{1} A ∢ = B_{1} B A ∢ = β / 2, \\ C_{1} A M ∢ = C_{1} A A_{1} ∢ = C_{1} A B ∢ + B A A_{1} ∢ = C_{1} C B ∢ + B A A_{1} ∢ = \frac{γ}{2} + \frac{α}{2} . \end{matrix}

Innen (1) azonnal adódik, a feladat állítását tehát beláttuk.

II. megoldás. Legyen

O

a háromszögbe írt kör középpontja. A kerületi szögekre vonatkozó tételt felhasználva

\begin{matrix} O C_{1} A ∢ = C C_{1} A ∢ = C B A ∢ = β, \end{matrix}

valamint

\begin{matrix} O A C_{1} ∢ = A_{1} A C_{1} ∢ = A_{1} A B ∢ + B A C_{1} ∢ = A_{1} A B ∢ + B C C_{1} ∢ = \frac{α}{2} + \frac{γ}{2} . \end{matrix}

A O C_{1}

háromszögben két szöget ismerünk, a harmadikat ki tudjuk számítani:

\begin{matrix} A O C_{1} ∢ = 180^{\circ} - O A C_{1} ∢ - O C_{1} A ∢ = 180^{\circ} - (\frac{α}{2} + \frac{γ}{2}) - β = \frac{α}{2} + \frac{γ}{2} = O A C_{1} ∢, \end{matrix}

hiszen

α + β + γ = 180^{\circ}

. Az

A O C_{1}

tehát egyenlő szárú háromszög,

C_{1} A = C_{1} O

, és így

C_{1}

rajta van az

A O

szakasz felező merőlegesén.
Hasonlóan látható, hogy

A O B_{1}

is egyenlő szárú háromszög, tehát

B_{1}

is rajta van

A O

felező merőlegesén ‐ így

B_{1} C_{1}

valóban merőleges

A A_{1}

-re, amit bizonyítani akartunk.