Feladat: Gy.2148 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Benczúr A. ,  Bíborka Judit ,  Bóna M. ,  Bősze T. ,  Csizmazia T. ,  Czuprák E. ,  Erdélyi Z. ,  Gróf Andrea ,  Gyuris V. ,  Gyüre P. ,  Hajdú S. Z. ,  Ittzés G. ,  Juhász 447 T. ,  Kaló Z. ,  Kintli L. ,  Kunszt P. ,  Ochmacht R. ,  Papp 649 L. ,  Papp 710 Zs. ,  Péter O. ,  Péterfai Andrea ,  Polyák Boglárka ,  Ribényi Á. ,  Rimányi R. ,  Szalay Gy. ,  Szirmai Á. ,  Szkaliczki T. ,  Tóth L. ,  Varga 822 Tünde ,  Vindics P. ,  Werner P. 
Füzet: 1984/április, 165 - 166. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek egybevágósága, Egyenes, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/október: Gy.2148

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szimmetria miatt elegendő azokat a k2 köröket tekinteni, amelyek O2 középpontja O1-től jobbra fekszik (1. ábra).

 
 

Jelöljük az egyik közös érintőnek kl-gyel, k2-vel való érintési pontját E-vel, F-fel, k1-nek és e-nek O2-höz közelebbi metszéspontját M-mel. Tudjuk, hogy az O1EFO2 derékszögű trapézban EO1F∢=O1FO2∢. Továbbá O2O1F egyenlő szárú háromszög, hiszen O2O1=O2F a k2 kör sugara, ezért O2FO1∢=O2O1F∢. Ezekből következik, hogy az O1FE és O1FM háromszögek egybevágók: megegyeznek 2 oldalban és a közbezárt szögben. Az FMO1 háromszög tehát derékszögű, azaz F rajta van a k1 kör M pontjában húzott, e-re merőleges f érintőjén. Az M pont nem tartozik a keresett mértani helyhez. Ha ugyanis F=M lenne, ez azt jelentené, hogy k1 és k2-nek csak egy közös pontja lenne, ellentétben a feladat feltételével.
Az f egyenesek bármely más, M-től különböző pontja viszont hozzá tartozik a mértani helyhez. Legyen ugyanis F pontja az f érintőnek. Mivel FO1 nem merőleges e-re, FO1 felező merőlegese metszi e-t, jelöljük a metszéspontot O2-vel. Az O2F=O2O1 miatt tudunk olyan k2 kört rajzolni, amelynek középpontja O2, átmegy F-en és O1-en. Ennek a körnek és k1-nek meghúzzuk a közös érintőit. Az érintési pontok az előbbiek alapján k2-nek és f-nek metszéspontjai, és ezek egyike éppen F.
Hasonlóan, ha O2-t az e egyenesnek O1-től balra eső felén választjuk, az érintési pontok f-nek O1-re való tükörképére, f'-re esnek.
Így a keresett alakzat az f és f' egyenesekből áll, elhagyva belőlük az e-re eső pontjaikat.