Kezdőlap


Feladat:	Gy.2147	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1984/április, 164 - 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/október: Gy.2147

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen adott a háromszög $c$ oldala, a $λ = b / a$ arány és az $| α - β |$ szögkülönbség.
Ha $λ = 1$ és a $| α - β | \neq 0$ vagy ha $λ \neq 1$ , de $| α - β | = 0$ , akkor a háromszög nem szerkeszthető. Ha $λ = 1$ és $| α - β | = 0$ , akkor végtelen sok megoldás van: bármely $c$ alapú egyenlő szárú háromszög eleget tesz a feltételnek.
Ha $λ \neq 1$ , akkor el tudjuk dönteni, hogy $α$ és $β$ közül melyik nagyobb. Legyen $λ < 1$ , ekkora $α > β$ , és így a $B A C$ szögtartományban létezik olyan $P$ pont, amelyre $A P = B C$ , $P A B ∢ = β$ .

A P

és

C B

egyenesek

M

metszéspontja a

C B

szakasz belsejében van, és nyilván

A C P B

egyenlő szárú trapéz.

M

tehát rajta van az alapok felező merőlegesén.
Ennek ismeretében a szerkesztést a következőképpen végezhetjük el. Felveszünk az

A C P

háromszöghöz hasonló

A' C' P'

háromszöget. Ezt megtehetjük, mert

\frac{b'}{a'} = λ = \frac{b}{a}

és

C' A' P' ∢ = α - β

ismert. Az

A'

-t

C' P'

oldalfelező a merőlegesére tükrözve kapjuk

B'

-t. Majd az

A' B' C'

háromszöget

c

oldal ismeretében a kívánt méretűre nagyítjuk. Ebben az esetben tehát mindig van megoldása a feladatnak, és az egyértelmű.