Kezdőlap


Feladat:	Gy.2146	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1984/április, 163 - 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Gyakorlat, Részhalmazok, Kör geometriája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/október: Gy.2146

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A negyedkörök 3-féle idomra bontják a négyzetet. Jelöljük az egybevágó idomok területét $A$ , $B$ és $T$ betűkkel az ábra szerint.

A területekre az alábbi egyenleteket írhatjuk fel:

\begin{matrix} A négyzet területe1, tehát 4 A + 4 B + T = 1, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} Egy negyedkör területe π / 4, tehát 3 A + 2 B + T = \frac{π}{4} . \end{matrix}

(2)

Végül egy négyzetoldal és a végpontjai körül rajzolt két negyedkörív által határolt, az ábrán vastagított vonallal berajzolt "kupola'' területét úgy kapjuk meg, ha két

60^{\circ}

-os középpontú szögű körcikk területéből levonjuk a közös rész, az egységoldalú szabályos háromszög területét, azaz

\begin{matrix} 2 A + B + T = \frac{2 π}{6} - \frac{\sqrt[]{3}}{4} . \end{matrix}

(3)

Az (1), (2) és (3) egyenletekből a keresett

T

értéket például a következőképpen kaphatjuk meg. Szorozzuk be a (2)-t (

- 4

)-gyel, a (3)-at pedig

4

-gyel

\begin{matrix} 4 A + 4 B + T = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} - 12 A - 8 B - 4 T = - π \end{matrix}

\begin{matrix} 8 A + 4 B + 4 T = \frac{4 π}{3} - \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Összeadva kapjuk, hogy

\begin{matrix} T = 1 - \sqrt[]{3} + \frac{π}{3} \approx 0,3151 . \end{matrix}