Kezdőlap


Feladat:	Gy.2145	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1984/február, 71 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/október: Gy.2145

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A (3) egyenlet szerint $x$ , $y$ és $z$ egyike sem 0. A (3) egyenletet közös nevezőre hozva és rendezve:

\begin{matrix} \frac{x y + x z + y z + z^{2}}{x y z} = 0. \end{matrix}

A tört számlálója szorzattá alakítható:

\begin{matrix} x y + x z + y z + z^{2} = (x + z) (y + z) . \end{matrix}

Mivel a szorzat értéke 0, ezért valamelyik tényezője 0. Ha

x = - z

, akkor (1)-ből

y^{3} = 8

, tehát

y = 2

. Így (2)-ből

x_{2} = 9

, vagyis vagy

x = 3

és

z = - 3

, vagy pedig

x = - 3

és

z = 3

. Az

y = - z

esetben a fentiekhez hasonlóan kapjuk, hogy

x = 2

, és vagy

y = 3

és

z = - 3

, vagy pedig

y = - 3

és

z = 3

.
Mivel

x

y

és

z

-re kapott értékek egyike sem 0, lépéseink mindvégig megfordíthatók. Így az egyenletrendszert az alábbi négy számhármas elégíti ki:

\begin{matrix} x_{1} & = 3 & y_{1} & = 2 & z_{1} & = - 3; \\ x_{2} & = - 3 & y_{2} & = 2 & z_{2} & = 3; \\ x_{3} & = 2 & y_{3} & = 3 & z_{3} & = - 3; \\ x_{4} & = 2 & y_{4} & = - 3 & z_{4} & = 3. \end{matrix}