Kezdőlap


Feladat:	Gy.2144	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1984/április, 162 - 163. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Indirekt bizonyítási mód, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/október: Gy.2144

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $n = 0$ , akkor $2^{n} - 1 = 0 = 0^{k}$ , ha pedig $n = 1$ , akkor $2^{n} - 1 = 1 = 1^{k}$ . Megmutatjuk, hogy ha $n \geq 2$ , $k \geq 2$ és $a$ természetes szám, akkor a

\begin{matrix} 2^{n} - 1 = a^{k} \end{matrix}

(1)

egyenlőség nem állhat fenn. Tegyük fel ennek ellenkezőjét. Mivel

n \geq 2

, ezért (1) bal oldalán páratlan szám áll, így szükségképpen

a

is páratlan. Két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy

k

páros-e vagy páratlan.
Ha

k

páros, akkor

a^{k}

egy páratlan egész számnak,

a^{k / 2}

-nek a négyzete. (1) mindkét oldalából 1-et kivonva:

\begin{matrix} 2^{n} - 2 = {(a^{k / 2})}^{2} - 1, vagyis \end{matrix}

\begin{matrix} 2 (2^{n - 1} - 1) = (a^{k / 2} - 1) (a^{k / 2} + 1) \end{matrix}

(2)

adódik. A jobb oldalon két páros szám szorzata áll, míg a bal oldal második tényezője az

n

-re vonatkozó feltevésünk szerint páratlan, így a bal oldal nem osztható

4

-gyel. Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben (1) nem állhat fenn.
Ha

k

páratlan, akkor adjunk (1) mindkét oldalához 1-et. Páratlan

k

-ra

a^{k + 1}

szorzattá alakítható, tehát most

\begin{matrix} 2^{n} = a^{k} + 1 = (a + 1) (a^{k - 1} - a^{k - 2} + ... - a + 1) . \end{matrix}

(3)

A jobb oldali szorzat második tényezője páratlan, hiszen az összeg páratlan sok tagból áll és minden egyes tag páratlan. Ez a szám osztója a bal oldalon álló

2

hatványnak, tehát értéke csak

1

lehet. Ez azt jelenti, hogy

\begin{matrix} a^{k} + 1 = (a + 1) 1, vagyis \end{matrix}

\begin{matrix} a^{k} = a . \end{matrix}

Mivel

k > 1

, ebből

a = 0

vagy

a = 1

adódik, de

n \geq 2

miatt

2^{n} - 1 \geq 3

, vagyis páratlan

k

-ra sem kapunk megoldást.
Összefoglalva,

2^{n} - 1

csak

n = 0

vagy

n = 1

esetén egyenlő valamely természetes szám második, vagy annál nagyobb egész kitevős hatványával.