A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a trapéz csúcsait , , , -vel úgy, hogy és . Az csúcs elhagyása után maradt háromszög magasságpontját jelölje , a elhagyásával kapott háromszög magasságpontját , és így tovább. Azt kell tehát igazolnunk, hogy négyszög trapéz. Először azt az esetet vizsgáljuk, mikor . Legyen az egyenesek metszéspontja . Az és háromszögek hasonlóak. Jelölje az és egyenesek metszéspontját, pedig a és egyenesekét, , valamint miatt az háromszög magasságpontja, hasonlóan a háromszög magasságpontja. Az , és pontok tehát egy egyenesen vannak és ez az egyenes merőleges -re. Ugyancsak merőlegesek -re az , , és egyenesek is, mert vagy egy vagy egy alapú háromszög magasságvonalai. Így ezek az egyenesek párhuzamosak egymással. Párhuzamosak egymással a és , valamint az és egyenesek: az első kettő az , a második kettő pedig a egyenesre merőleges (1. ábra).
Messe a magasságvonal az -t -ben. Az négyszög szemben fekvő oldalai az előzőek alapján párhuzamosak egymással, ez a négyszög tehát paralelogramma. Hasonlóan kapjuk, hogy is paralelogramma, ahol az , valamint metszéspontja. Következésképpen és párhuzamos és egymással egyenlő szakaszok (mindketten párhuzamosak és egyenlők -nel), tehát is paralelogramma ‐ speciálisan . Tudjuk, hogy az , és egyenesek párhuzamosak. Így az középpontú, arányú nagyításban képe lesz. Hasonlóan, az középpontú, arányú nagyításban képe lesz. Az és háromszögek hasonlók, tehát | | Az első és utolsó tagot összevetve láthatjuk, hogy azok éppen az és háromszögek hasonlóságát mondják ki, ezért . Az előbb viszont láttuk, hogy , amiből következik, hogy , azaz a négyszög trapéz.
Végül ha , akkor a trapéz paralelogramma (2. ábra). A paralelogramma középpontosan szimmetrikus az átlóinak metszéspontjára. Ebből következik, hogy az , , , magasságpontok ugyancsak szimmetrikusan helyezkednek el az átlók metszéspontjára, de akkor ezek is paralelogrammát határoznak meg. Ezzel az állítást igazoltuk.
|