A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha a háromszög magasságpontját a háromszög oldalára tükrözzük, a tükörkép rajta lesz a háromszög körülírt körén. Ez azt is jelenti, hogy ha a körülírt kört tükrözzük a háromszög valamelyik oldalára, tükörképén a háromszög magasságpontja rajta van. Tükrözzük tehát -t az adott egyenesre, ezt könnyen megehetjük csak körző segítségével. Ha és körül mint középpont körül a sugarával kört rajzolunk, akkor e körök metszéspontjai közül az egyik -nak, a másik -nek középpont. Ismerjük az távolságot, ezért a középpontú, sugarú körnek és -nek közös pontja az magasságpont.
-nak -ra vonatkozó tükörképe ugyancsak átmegy az ponton. Ha tehát az és pontokon át megrajzoljuk a -val egybevágó kört, ez -t másodszor -ban metszi. Ez a kör pedig nem más, mint -nek -re vonatkozó tükörképe. Így az előbbiek mintájára tükrözzük -t az szakaszra, a tükörkép kimetszi -ból a keresett csúcsot. Az így kapott háromszögnek az pont valóban magasságpontja, hiszen -t az oldalakra tükrözve a tükörképek átmennek a magasságponton, másrészt ezeknek a köröknek a szerkesztés alapján csak az lehet közös pontja. A szerkesztés csak akkor végezhető el, ha a háromszög körülírt körének középpontja a felező merőlegesén van, továbbá ha az távolság legfeljebb akkora, mint a körülírt kör átmérője. Ha kisebb, a feladatnak két megoldása van; ha egyenlő, akkor egy.
Megjegyzés. A feladat érdekességét bizonyítja a sok beküldött dolgozat és a megoldók ötleteinek tarkasága. Volt Thalész-körös, Feuerbach-körös, Euler-egyeneses, vektoros bizonyítással végzett szerkesztés. |