Kezdőlap


Feladat:	Gy.2135	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Argay Katalin
Füzet:	1984/február, 68 - 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasságvonal, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/szeptember: Gy.2135

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ A feltételeknek eleget tevő háromszög létezik. Ennek bizonyításához elegendő egy példát adnunk.

1. ábra

Legyen az

A C D E

téglalapban

A C = D E = 10

C D = E A = 1

cm, a téglalap átlóinak metszéspontja legyen

B

(1. ábra). Ekkor az

A B C

háromszög területe a téglalap területének negyede,

\frac{1}{4} \cdot 10 \cdot 1 = 2, 5 {cm}^{2} > 2 {cm}^{2}

. A háromszög

B

csúcshoz tartozó magassága 1/2, az

A M = C N

magassága pedig befogója az

A M E

derékszögű háromszögnek, tehát kisebb, mint annak

A E = 1

cm átfogója. Tehát az

A B C

háromszög kielégíti a feltételeket.

b)

Legyen a háromszög legnagyobb oldala

a

, az ehhez tartozó magasság

m_{a}

2. ábra

Mivel a háromszög területe kisebb, mint

1 {cm}^{2}

, azért

\begin{matrix} \frac{a \cdot m_{a}}{2} < 1. \end{matrix}

A feltétel szerint

m_{a} > 2

cm, a fenti egyenlőtlenségből tehát

a < 1

cm következik. Mivel

a

volt a legnagyobb oldal, azért a háromszög mindegyik oldala kisebb, mint 1 cm. Ez viszont nem lehet, mert az

m_{a}

magasság befogója egy olyan derékszögű háromszögnek, amelynek az átfogója a

c

oldal. Az átfogó viszont mindig nagyobb, mint a befogó. Ellentmondásra jutottunk, tehát nem létezik a feltételeknek megfelelő háromszög.

Megjegyzés. Az a) esetben ‐ ahogyan több dolgozatban is bizonyították ‐, a feltételeknek megfelelő háromszög csak tompaszögű lehet. A területe viszont tetszőlegesen nagy lehet, mivel

A C

-t tetszőlegesen növelhetjük.