Kezdőlap


Feladat:	Gy.2134	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szabó György
Füzet:	1984/január, 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletek, Maradékos osztás, Gyakorlat, Egészrész, törtrész függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/szeptember: Gy.2134

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet jobb oldalán egész szám áll, így $x$ csak egész lehet. Ha $r$ jelöli az $x$ -nek a $6$ -tal való osztáskor fellépő maradékát, akkor $x - r$ osztható $6$ -tal, azaz $x = 6 k + r$ , ahol $k$ egész. Ekkor (1) így alakul:

\begin{matrix} 6 k + r - 1 = [3 k + \frac{r}{2}] + [2 k + \frac{r}{3}] + [k + \frac{r}{6}] . \end{matrix}

(2)

Ismeretes, hogy ha

n

egész, akkor

[n + t] = n + [t]

. Ezt (2) jobb oldalán felhasználva, rendezés után

\begin{matrix} r - 1 = [\frac{r}{2}] + [\frac{r}{3}] + [\frac{r}{6}] adódik . \end{matrix}

(3)

Az (1) egyenletnek tehát pontosan azok az egész számok a gyökei, melyek

6

-tal való osztáskor fellépő maradékára teljesül (3). Mivel

r

lehetséges értékei

0

1

2

3

4

és

5

, (3) vizsgálata hat behelyettesítést jelent. Végül látható, hogy (3) pontosan akkor teljesül, ha

r

értéke

1

2

3

vagy

4

.
Az (1) egyenlet megoldásai tehát a

6 k + 1

6 k + 2

6 k + 3

és a

6 k + 4

alakú számok, ahol

k

tetszőleges egész szám.