Feladat: Gy.2132 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baranyi Judit ,  Bíborka Judit ,  Bóna M. ,  Bugár István ,  Drasny G. ,  Feczkó G. ,  Fischer Zs. ,  Fodor H. ,  Grallert Ágnes ,  Gróf Andrea ,  Habermayer Zs. ,  Hajdú S. Z. ,  Jedlovszky P. ,  Kollár Attila ,  Ratkó Julianna ,  Ribényi Á. ,  Sáhi A. ,  Szabó 529 G. ,  Szalay Gy. ,  Szederkényi Judit ,  Szkaliczki T. ,  Varga T. ,  Vindics P. ,  Werner P. 
Füzet: 1984/február, 67 - 68. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középvonal, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/május: Gy.2132

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Rajzoljuk meg az ABC derékszögű háromszöget, melyben a befogók AC=3 és BC=4 egység hosszúak. Állítjuk, hogy a keresett kör sugara 2 egység. Ennek bizonyításához nyilván elegendő megmutatni, hogy az a 2 egység sugarú kör, ami érinti az AC és BC oldalakat, egyúttal érinti az ABC háromszög körülírt körét is. A körülírt kör középpontja az AB oldal F felezőpontja, sugara pedig

AB2=AC2+BC22=2,5
egység. k akkor és csak akkor érinti belülről a körülírt kört, ha a két kör középpontjának távolsága 2,5-2=0,5 egység.
 
 
1. ábra
 

Mivel k érinti AC-t és BC-t is, azért az O középpont mindkettőtől 2 távolságra van. Következésképp O rajta van BC-nek OD felező merőlegesén, és OD=2. Az F pont, mint az ABC háromszög körülírt körének középpontja, szintén rajta van OD-n, és FD=AC/2=1,5, mert FD középvonal az ABC háromszögben. Következésképp
OF=OD-FD=2-1,5=0,5,
és ezt akartuk bizonyítani.
 

II. megoldás. A feladatot általában oldjuk meg. A keresett k kör sugara legyen r, középpontja O. Az O pont r távolságra van AC-től és BC-től is.
 
 
2. ábra
 

Bocsássunk AB-nek F felezőpontjából merőlegeseket AC-re, BC-re, a talppontok legyenek E, ill. D (2. ábra). Ezek felezik a megfelelő oldalakat, ezért az OMF derékszögű háromszögre Pitagorász tétele szerint
OF2=OM2+MF2=(r-EC)2+(CD-r)2=(r-b2)2+(a2-r)2.
k akkor és csak akkor érinti belülről a körülírt kört, ha OF=AF-r=c/2-r. Ebből r-re a következő egyenletet kapjuk:
(c2-r)2=(r-b2)2+(a2-r)2,
ahonnan a2+b2=c2 felhasználásával
r(r-(a+b-c))=0.
Mivel r≠0, azért a keresett kör sugara r=a+b-c. Esetünkben a=3, b=4, c=5, tehát r=3+4-5=2.