Kezdőlap


Feladat:	Gy.2131	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Megyesi Gábor , S. Fülöp Tamás
Füzet:	1984/január, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/május: Gy.2131

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A C D$ háromszög beírt köre érintse $C D$ -t az $E_{1}$ pontban, a $C B D$ -be írt kör $E_{2}$ -ben. A háromszög egy csúcsából a beírt körhöz húzott érintő szakasz hossza a félkerület és a csúccsal szemközti oldal hosszának különbsége.

1. ábra

Ennek felhasználásával előbb az

A D

és

B D

távolságokat számítjuk ki:

\begin{matrix} A D = \frac{a + b + c}{2} - a = \frac{b + c - a}{2}, B D = \frac{a + c - b}{2} . \end{matrix}

A C D

és

B C D

háromszögekben a

D E_{1}

, ill.

D E_{2}

távolságok hasonlóan adódnak:

\begin{matrix} D E_{1} = \frac{C D + A D - C A}{2}, D E_{2} = \frac{C D + B D - C B}{2} . \end{matrix}

Ezekbe

A D

, ill.

B D

előbb kapott értékeit helyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} D E_{1} = \frac{1}{2} (C D + \frac{c - b - a}{2}) = D E_{2} . \end{matrix}

Így

E_{1} \equiv E_{2}

azaz a beírt körök középpontjaiból a

C D

szakaszra bocsátott merőlegesek talppontjai egybeesnek. A középpontokat összekötő egyenes valóban merőleges

C D

-re.

Megjegyzés. Az előzőhöz hasonlóan igazolható, hogy ha az

A C B D

négyszög érintőnégyszög, akkor az

A C D

és

B C D

háromszögek beírt köreinek középpontját összekötő egyenes merőleges

C D

-re (2. ábra). Az állítás megfordítása is igaz: ha az

O_{1} O_{2}

egyenes merőleges

C D

-re, akkor az

A C B D

négyszög érintőnégyszög. Ez a megfordítás háromszög esetén azt jelenti, hogy ha az

O_{1} O_{2}

egyenes merőleges

C D

-re, akkor

D

A B C

háromszögbe írt kör

A B

-n levő érintési pontja.

2. ábra