Kezdőlap


Feladat:	Gy.2129	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zováth Mihály
Füzet:	1983/december, 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Hatványösszeg, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/május: Gy.2129

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az öt egész szám $A, B, C, D$ és $E$ . Az állítás bizonyításához elegendő igazolni, hogy $A^{5} + B^{5} + C^{5} + D^{5} + E^{5} - (A + B + C + D + E)$ osztható $15$ -tel. Ez pedig azonnal adódik abból, hogy $n^{5} - n$ osztható $15$ -tel, ha $n$ egész. Így elegendő ezt igazolnunk.
Írjuk fel $(n^{5} - n)$ -et szorzatként:

\begin{matrix} n^{5} - n = n (n^{4} - 1) = n (n^{2} - 1) (n^{2} + 1) = n (n - 1) (n + 1) [(n^{2} - 4) + 5] = \end{matrix}

\begin{matrix} = (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2) + 5 (n - 1) n (n + 1) . \end{matrix}

Ez utóbbi összeg első tagja öt egymás utáni egész szám szorzata, tehát osztható

5

-tel is és

3

-mal is. A második tag három egymás utáni egész szám szorzatának ‐ amely tehát osztható

3

-mal ‐ az ötszöröse, szintén osztható

15

-tel.
Így

n^{5} - n

valóban osztható

15

-tel, s ezzel a feladat állításának bizonyítását befejeztük.
Nem használtuk ki, hogy éppen öt számról van szó, az állítás akárhány egész számra igaz.

Zováth Mihály (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)