Feladat: Gy.2127 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bán Rita ,  Bíborka Judit ,  Bóna M. ,  Boros 966 Z. ,  Bősze T. ,  Bujdosó L. ,  Fülóp T. ,  Gáspár Zs. ,  Grallert Ágnes ,  Grőbler T. ,  Hraskó A. ,  Jedlovszky P. ,  Klug R. ,  Kós G. ,  Kovács 123 L. ,  Megyesi G. ,  Pál G. ,  Raisz I. ,  Ratkó Julianna ,  S. Fülöp T. ,  Somogyi 196 A. ,  Szabó 529 G. ,  Szirmai Á. ,  Végső A. ,  Vindics P. ,  Werner P. 
Füzet: 1984/január, 20. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Diofantikus egyenletek, Egyéb szinezési problémák, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/május: Gy.2127

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A legkisebb piros szám nyilván a 81⋅1+100⋅1=181. Megmutatjuk, hogy 8100 kék. Ha ugyanis 8100=81x+100y volna, ahol x és y pozitív egészek, akkor 81x osztható volna 100-zal. Mivel 81-nek és 100-nak nincs 1-nél nagyobb közös osztója, azért x is osztható volna 100-zal, vagyis 81x≧8100 lenne. Ekkor viszont y nem lehet pozitív.
Belátjuk, hogy n és (8281-n) közül az egyik piros, a másik kék. Ez egyúttal a feladat állítását is adja, hiszen ez éppen azt jelenti, hogy a 8281/2-re szimmetrikusan elhelyezkedő számok különböző színűek.
Először is, nem lehet n és (8281-n) is egyaránt piros. Ha mégis így volna, akkor pozitív egész x, y, x', y'-vel

n=81x+100y,8281-n=81x'+100y'.
Ezeket összeadva kapjuk, hogy
8100=81(x+x'-1)+100(y+y'-1),
és itt x+x'-1, valamint y+y'-1 pozitív egészek. Így 8100 piros lenne, noha láttuk, hogy kék. Így tehát n és 8281-n közül legalább az egyik kék.
Másodszor megmutatjuk, hogy ha n kék, akkor 8281-n piros, azaz e két szám közül legfeljebb az egyik lehet kék. Mivel 21⋅81=1701, azért
81⋅(21n)+100(-17n)=n.(1)
Válasszuk meg a k egész számot úgy, hogy
0<21n-100k≦100
legyen, ekkor az a=21n-100k, b=81k-17n kifejezéseket (1)-be téve
81a+100b=n.(2)
Itt a pozitív egész, n pedig kék, tehát b nem lehet pozitív, b≦0. (2)-ből
8281-n=81⋅(101-a)+100(1-b).
Ebben az előállításban (101-a) is és (1-b) is pozitív egész, ‐ ezért (8281-n) piros.
Így n és (8281-n) közül legalább és legfeljebb az egyik, tehát pontosan az egyik kék, a másik piros. Tehát 8281/2 az állításnak megfelelő szám.
 
Megjegyzések. 1. A feladat szoros kapcsolatban áll az ax+by=c alakú, úgynevezett diofantikus egyenletek vizsgálatával. Ebben az egyenletben a, b és c egészek, és a megoldásokat is az egész számok között keressük. Könnyen igazolható, hogy a fenti egyenletnek akkor és csak akkor van megoldása, ha c többszöröse a és b legnagyobb közös osztójának.
2. Ha a és b pozitív egészek, továbbá (a,b)=1, akkor az ax+bx=c egyenlet c>ab-re a pozitív számok körében mindig megoldható. Másfelől az a+b≦c≦ab esetekben az [a+b,ab] intervallum felezőpontjára szimmetrikusan elhelyezkedő számok közül pontosan az egyikre oldható meg az egyenlet.