Kezdőlap


Feladat:	Gy.2124	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1983/november, 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/április: Gy.2124

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltételek alapján az $A N$ és $B M$ szakaszok teljes egészükben az $A C B$ szögtartományban vannak. Mivel ez a két szakasz metszi egymást, azért $M$ és $N$ az $A B$ egyenesnek ugyanarra a partjára esik. Az nem lehet, hogy $M$ is és $N$ is a $C$ -vel ellentétes partra essék (1. ábra).

1. ábra

Ugyanis

A B M

egyenlő szárú háromszög, és ha

M

nincs az

A C

szakaszon, akkor

B A C ∢ \geq 90^{\circ}

. Hasonlóan, ha

N

nincs a

B C

szakaszon, akkor

A B C ∢ \geq 90^{\circ}

‐ márpedig az

A B C

háromszögben nem lehet két, legalább

90^{\circ}

-os szög. Így

M

és

N

A C

B C

szakasz pontja (2. ábra).

2. ábra

A P M

külső szöge az

A P B

háromszögnek, tehát

\begin{matrix} A P M ∢ = P A B ∢ + P B A ∢ = N A B ∢ + M B A ∢ = (180^{\circ} - 2 \cdot A B N ∢) + \\ + (180^{\circ} - 2 B A M ∢) = 2 (180^{\circ} - C B A ∢ - C A B ∢) = 2 A C B ∢ . \end{matrix}

Kihasználtuk, hogy

A B M

, ill.

B A N

egyenlő szárú háromszögek, valamint hogy

M

és

N

C A

C B

szakaszok pontja. Így a kérdéses egyenlőség mindig teljesül.

Megjegyzés. A feladat nehézségét az adja, hogy egy "nyilvánvaló'', "könnyen látható'' állítást kellett igazolni: az adott feltételek mellett a pontok a 2. ábrán látható módon helyezkednek el.