Kezdőlap


Feladat:	Gy.2122	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1983/november, 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Körérintési szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/április: Gy.2122

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $k_{1}$ , $k_{2}$ sugarát rendre $r_{1}$ , $r_{2}$ -vel, középpontját $O_{1}$ , $O_{2}$ -vel, a $k$ érintő kör középpontját $O$ -val, sugarát $R$ -rel, $k$ és $k_{1}$ érintési pontját $E_{1}$ -gyel.

E_{1} O_{1}

félegyenes tartalmazza

O

-t és

R = E_{1} O > E_{1} O_{1}

, mivel

k_{1}

belülről érinti

k

-t. Hasonlóképpen

O

E_{2} O_{2}

félegyenesen is rajta van, ahol

E_{2}

k

és

k_{2}

körök érintési pontja. Továbbá azt is tudjuk, hogy az

O_{1} O_{2}

szakasz tartalmazza a

k_{1}

és

k_{2}

körök

E

érintési pontját. A feltétel szerint az

O_{1} O O_{2}

háromszög derékszögű és az előbbiek alapján

\begin{matrix} O_{1} O_{2} = r_{1} + r_{2}, O_{1} O = R - r_{1}, O_{2} O = R - r_{2} . \end{matrix}

A Pitagorasz‐tétel szerint tehát

\begin{matrix} {(R - r_{1})}^{2} + {(R - r_{2})}^{2} = {(r_{1} + r_{2})}^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} R = \frac{r_{1} + r_{2} + \sqrt[]{{(r_{1} + r_{2})}^{2} + 4 r_{1} r_{2}}}{2} . \end{matrix}

Csak a pozitív előjel jöhet szóba, mivel

r_{1} + r_{2} - \sqrt[]{{(r_{1} + r_{2})}^{2} + 4 r_{1} r_{2}} < 0

. Ha tehát a kör létezik, akkor sugara csak ennyi lehet. Ha

r_{1} = r_{2}

, akkor az érintő kört könnyen meg tudjuk szerkeszteni, hiszen ekkor

O O_{1} O_{2}

olyan egyenlő szárú derékszögű háromszög, melynek átfogója

O_{1} O_{2} = r_{1} + r_{2}

adott. A derékszögű csúcs lesz

k

-nak

O

középpontja, és ha

O O_{1}

szakaszt meghosszabbítjuk, míg a

k_{1}

kört másodszor is metszi, megkapjuk az

E_{1}

pontot, mely a

k

kör egy pontja.
Most tegyük fel, hogy

r_{1} < r_{2}

. Ekkor

O O_{2} < O O_{1}

. Mérjük fel

O

-ból az

O O_{1}

félegyenesre az

O O_{2}

távolságot, a végpontot jelöljük

O'_{2}

-vel.
Az

O_{1} O_{2} O'_{2}

háromszögben

O_{1} O_{2} = r_{1} + r_{2}

O_{1} O'_{2} = (R - r_{1}) - (R - r_{2}) = r_{2} - r_{1}

, és

O_{2} O'_{2} O_{1} ∢ = 135^{\circ}

. Ezek ismeretében az

O_{1} O'_{2} O_{2}

háromszöget meg tudjuk szerkeszteni: Megrajzoljuk az

O_{1} O_{2}

szakasz

135^{\circ}

-os látókörívét, és azt

O_{1}

-ből elmetsszük az

r_{2} - r_{1}

távolsággal. Így megkapjuk

O'_{2}

-t. Az

O

pont az

O_{2} O'_{2}

fölé mint átfogó fölé emelt egyenlő szárú derékszögű háromszög csúcsa. Innen a

k

kört az előzőekhez hasonlóan kaphatjuk.
A szerkesztést mindig el tudjuk végezni, vagyis az érintő kör mindig létezik. Megoldásként mindig két kört kapunk, melyek tengelyesen tükrösek az

O_{1} O_{2}

egyenesre.