Kezdőlap


Feladat:	Gy.2121	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1983/december, 209 - 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyakorlat, Paraméteres egyenlőtlenségek, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/április: Gy.2121

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlőtlenség átírható a következő ekvivalens formába:

\begin{matrix} 2 a b c (a + b + c) ≦ a b (a^{2} + b^{2}) + b c (b^{2} + c^{2}) + c a (c^{2} + a^{2}) ≦ 2 (a^{4} + b^{4} + c^{4}) . \end{matrix}

(1)

Jelöljük a bal oldalon álló kifejezést

B

-vel, a középsőt

K

-val, a jobb oldalit

J

-vel. Elsőként a

B ≦ K

egyenlőtlenséget bizonyítjuk.

\begin{matrix} K & = a b (a^{2} + b^{2}) + b c (b^{2} + c^{2}) + c a (c^{2} + a^{2}) = \\ = a (b^{3} + c^{3}) + b (c^{3} + a^{3}) + c (a^{3} + b^{3}) = \\ = a (b + c) (b^{2} - b c + c^{2}) + b (c + a) (c^{2} - c a + a^{2}) + c (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) . \end{matrix}

x^{2} - x y + y^{2} ≧ x y

egyenlőtlenség az

{(x - y)}^{2} ≧ 0

egyenlőtlenség egy másik alakja. Mivel

a, b, c

pozitívak, az egyes tagokban az utolsó tényezőt

b c, c a, a b

-vel helyettesítve a kifejezést nem növeljük.

\begin{matrix} K ≧ a (b + c) b c + b (c + a) c a + c (a + b) a b = 2 a b c (a + b + c) = B . \end{matrix}

K ≦ J

bizonyításához többször is felhasználjuk az ugyancsak

{(x - y)}^{2} ≧ 0

-ból adódó

x y ≦ \frac{x^{2} + y^{2}}{2}

egyenlőtlenséget.

\begin{matrix} K = a b (a^{2} + b^{2}) + b c (b^{2} + c^{2}) + c a (c^{2} + a^{2}) ≦ \frac{a^{2} + b^{2}}{2} (a^{2} + b^{2}) + \frac{b^{2} + c^{2}}{2} (b^{2} + c^{2}) + \frac{c^{2} + a^{2}}{2} (c^{2} + a^{2}) = \\ = a^{4} + b^{4} + c^{4} + a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} ≦ a^{4} + b^{4} + c^{4} + \frac{a^{4} + b^{4}}{2} + \frac{b^{4} + c^{4}}{2} + \frac{c^{4} + a^{4}}{2} = 2 (a^{4} + b^{4} + c^{4}) = J . \end{matrix}

Ezzel a bizonyítandó egyenlőtlenségeket igazoltuk. Azt is láthatjuk, hogy mindkét esetben egyenlőség csak az

a = b = c

esetben áll.

Megjegyzés. A megoldásban alkalmazott módszerrel bizonyítható az (1) egyenlőtlenség következő általánosítása is. Ha

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

pozitív számok, akkor

\begin{matrix} \frac{2}{n - 2} {\sum_{1 ≦ i < j < k ≦ n}^{}}_{}^{} a_{i} a_{j} a_{k} (a_{i} + a_{j} + a_{k}) ≦ {\sum_{1 ≦ i < j ≦ n}^{}}_{}^{} a_{i} a_{j} (a_{i}^{2} + a_{j}^{2}) ≦ (n - 1) {\sum_{i = 1}^{n}}_{}^{} a_{i}^{4}, \end{matrix}

n = 3

-ra éppen (1)-et kapjuk vissza.

Bencze Mihály, Brassó