Feladat: Gy.2116 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1983/december, 207 - 209. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/március: Gy.2116

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a trapéz párhuzamos oldalai AD és BC, a derékszögű csúcsok A-nál, ill. B-nél (1. ábra).

 
 

1. ábra
 
Az MA,MB,MC,MD szakaszok közül adott kettő. Négy szakasz közül kettőt 12-féleképpen lehet kiválasztani ‐ így tulajdonképpen 12 szerkesztési feladatot kell megoldanunk attól függően, melyik két szakasz hosszát tekintjük megadottnak.
1. Az adott szakaszok az AMD,AMB vagy BMC derékszögű háromszögek valamelyikének befogói. Ekkor megszerkesztjük a háromszöget, majd az átfogóra végpontjából merőlegest állítunk. Így megkapjuk a trapéz merőleges szárát (vagy párhuzamos alapjait). A befogók meghosszabbításain könnyen megszerkeszthetjük a hiányzó csúcsokat (2. ábra).
 
 

2. ábra
 
A szerkesztés mindig végrehajtható, egyértelmű, és nyilvánvalóan megfelelő trapézt eredményez. Mivel az adatokat 6-féleképpen vehetjük fel, 6 trapézt kapunk.
2. Az adott szakaszok a trapéz egy átlóján vannak ‐ mondjuk MB=8,MD=27. Felvesszük a BD átlót, és e fölé Thalész-kört szerkesztünk. A BD-re M-ben állított merőleges metszi ki a körből az A csúcsot. Az AM egyenesnek és a B-ben AB-re állított merőlegesnek metszéspontja C (3. ábra).
 
 

3. ábra
 
Hasonló a szerkesztés a többi három esetben is ‐ így összesen 4 további trapézt kapunk.
3. Végül az az eset maradt hátra, mikor az adott szakaszok a CMD derékszögű háromszög befogói. Az ABC, illetve ABD derékszögű háromszögekben BM, ill. AM a derékszögű csúcsból induló magasság, ezért
BM2=AM⋅MC,AM2=BM⋅MD.(1)
Ezekből meghatározhatjuk pl. a BM szakasz hosszát:
BM3=MC2⋅MD,(2)
ami MC és MD ismeretében kiszámítható. Aszerint, hogy melyiket választjuk 8-nak, ill. 27-nek, BM-re két különböző értéket kapunk:
MC=8,MD=27BM=82⋅273=12;MC=27,MD=8,BM=272⋅83=18.
Most már a BM és MD távolságok ismeretében ‐ például a 2-ben leírtak alapján ‐ a trapézt megszerkeszthetjük. A kapott trapéz megfelelő lesz, amit ismét a magasságtétel alkalmazásával láthatunk be. Ha például BM=12 és MD=27, a megszerkesztett trapézban ABC és ABD derékszögű háromszögek (4. ábra), tehát (1) és ezzel együtt (2) is érvényes. Tehát
MC2=BM3MD=12327=64,
az MC távolság valóban 8.
 
 

4. ábra
 

Ezzel mind a 12 szerkesztési feladatot megoldottuk. Eredményül 12 különböző trapézt kaptunk, melyek 6 párba oszthatók. Az egy párban levők egymásból az A és B, valamint C és D csúcsok felcserélésével kaphatók meg.
 

Megjegyzés. Az 1. és 2. esetben a szerkesztés tetszőleges adatok mellett elvégezhető, a 3. esetben már nem. Például, ha MC=1 és MD=2 egység, a trapéz nem szerkeszthető. Ha mégis meg tudnánk szerkeszteni, akkor BM=23 miatt egy 23 hosszú szakaszt is szerkesztettünk volna - ami pedig nem lehetséges.