A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Nyilván feltehetjük, hogy . Ha a bábukat a kívánt módon helyezzük el, akkor minden bástyához egyértelműen rendelhető hozzá az általa ütött bástya. Így bizonyos, hogy a kívánt módon csak páros számú bástyát lehet elhelyezni. Nevezzünk két egymást ütő bástyát "pár''-nak, a sakktábla sorait és oszlopait együttesen sávoknak. Egy pár 3 sávot foglal le, erre a 3 sávra további bástyát nem helyezhetünk. A -es sakktáblán sáv áll rendelkezésre, így legfeljebb pár‐ azaz bástya ‐ helyezhető el a kívánt módon. Ugyanakkor a párok száma nyilván nem lehet nagyobb sem a vízszintes, sem pedig a függőleges sávok számánál. Ez miatt a felső becslést adja. Ha , akkor ez utóbbi becslés kisebb az előbbinél, másrészt ilyenkor bástya el is helyezhető a kívánt módon (1. ábra). 1. ábra Ha , akkor . Megmutatjuk, hogy esetén a -es sakktáblán megfelelő pár helyezhető el. Láttuk, hogy azok a sakktáblák, amelyeknek egyik oldala kétszer akkora, mint a másik, kitölthetők a hosszabb oldalukkal párhuzamos állású párokkal. Próbáljuk ilyen részekre osztani a sakktáblánkat: (2. ábra) 2. ábra Az ábra jelölései szerint: , , ahonnan Ha ezek a számok egészek, akkor vízszintesen és függőlegesen összesen pár helyezhető el, ez pedig éppen , hisz az egészrész jelen belül most egész szám áll. Ha vagy nem egész, akkor a vízszintes téglalap oldalait -nek és -nek választjuk. A függőleges téglalap oldalai most és , ebben kell elhelyeznünk a hiányzó párt. Ez biztosan megtehető, ha a függőleges téglalap tartalmaz oldalú résztéglalapot, azaz ha Az első egyenlőtlenség behelyettesítés és rendezés után a alakot ölti. Ez pedig teljesül, hiszen az egészrész-jeleken belül levő számok összege . A második egyenlőtlenségből, mivel egész, és így | | adódik. A egyenlőtlenség viszont minden számra teljesül. Összefoglalva tehát: ha , akkor a -es sakktáblán legfeljebb , ha pedig , akkor darab bástya állítható föl a kívánt módon.
Megjegyzés. Sokan igazolták, hogy , ill. felső korlátok ‐ ez lényegében a 2064. gyakorlat megoldásából is kiderül ‐, azt azonban már nem vizsgálták, hogy ezek a korlátok elérhetők-e. |