A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük felezőpontját -fel, a -ből induló magasság talppontját -vel, felezőpontját -val. Ekkor persze középvonala a háromszögnek. A -ből induló belső szögfelező szögfelezője az háromszögnek is, tehát ez az egyenes az szakaszt a közrezáró oldalak arányában osztja: Azt, hogy a magasságvonal az AF szakaszt milyen arányban osztja, a párhuzamos szelők tétele alapján számíthatjuk ki. Mivel , ez az arány
Itt kihasználtuk, hogy az , , valamint háromszögek hasonlóak. A kérdezett három egyenes akkor és csak akkor megy át egy ponton, ha a szögfelező és a magasságvonal ugyanolyan arányban osztja a súlyvonalat, azaz ha az (1) és (2) alatti arányok egyenlők: vagyis ha . Ezzel a feladat állítását beláttuk.
Megjegyzések. 1. A feladat állítása könnyen adódik Ceva tételéből: Az háromszög , , oldalszakaszain felvéve az , , pontokat, , , akkor és csak akkor megy át egy ponton, ha Ennek alapján a feladat könnyen általánosítható tetszőleges háromszögre. 2. Egy átfogójú derékszögű háromszög oldalaira akkor és csak akkor teljesül az összefüggés, ha a háromszög oldalainak aránya
|
|