Feladat: Gy.2105 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1983/december, 207. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Konstruktív megoldási módszer, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/február: Gy.2105

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Ha n=8, akkor amint azt az alábbi példa mutatja, a kívánt felosztás megvalósítható:

|a     24     22     23     19     18     11     9     5|b     21    20    16    17    6    10    3    1a+b3     15    14    13    12    8    7    4    2

b) A feltétel szerint az egyes csoportokban álló számok összege, a+b+a+b3=4⋅a+b3 osztható 4-gyel. Ez azt jelenti, hogy ha összeadjuk az összes felhasználandó számot, akkor az összeg osztható 4-gyel. Az első 33 pozitív egész összege viszont 561, tehát n=11 esetén nem valósítható meg a kívánt felosztás.
 

Megjegyzés. A felosztás létezéséhez szükséges, hogy az első 3n darab pozitív egész összege osztható legyen 4-gyel. Ez akkor igaz, ha vagy n osztható 8-cal ‐ az a) esetben ez teljesül ‐ vagy pedig 3n+1 osztható 8-cal. Az a) esetben a feltétel teljesül és találtunk is megoldást, amely egyébként nem az egyetlen. A legkisebb olyan n, amelyre a feltétel másik változata igaz, az 5. A feladatnak ilyenkor is létezik megoldása. Nem látszik könnyűnek az a kérdés, hogy a talált szükséges feltétel elégséges-e.