Kezdőlap


Feladat:	Gy.2104	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1983/szeptember, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számkörök, Gyakorlat, Logikai feladatok, Egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/február: Gy.2104

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A számok abszolút értékének összege $1$ , így nem lehet valamennyi szám $0$ . A számok összege viszont $0$ , így van közöttük negatív és pozitív is. Legyenek az $n$ darab szám közül a negatívak

\begin{matrix} a_{1} ≦ a_{2} ≦ ... ≦ a_{k} < 0, \end{matrix}

(1)

a nem‐negatívak

\begin{matrix} 0 ≦ a_{k + 1} ≦ ... ≦ a_{n - 1} ≦ a_{n} . \end{matrix}

(2)

Ekkor

1 ≦ k < n

, valamint

\begin{matrix} a_{1} + a_{2} + ... + a_{k} = - \frac{1}{2}, a_{k + 1} + ... + a_{n - 1} + a_{n} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

hiszen csak így lehet a számok összege

0

, abszolút értékeik összege pedig

1

.
A

k

darab negatív

a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}

szám összege

- 1 / 2

, tehát közülük a legkisebb nem lehet nagyobb

- \frac{1}{2 k}

-nál. Hasonlóan, a nem‐negatív

a_{k + 1}, ..., a_{n}

számok közül a legnagyobb,

a_{n}

, értéke legalább

\frac{1}{2 (n - k)}

Így

\begin{matrix} a_{n} - a_{1} ≧ \frac{1}{2 (n - k)} + \frac{1}{2 k} = \frac{2 n}{n^{2} - {(n - 2 k)}^{2}} ≧ \frac{2 n}{n^{2}} = \frac{2}{n}, \end{matrix}

és ezt kellett bizonyítanunk.

Megjegyzések 1. A legnagyobb és a legkisebb szám különbsége pontosan akkor

\frac{2}{n}

, amikor

n = 2 k

és

a_{n} = \frac{0,5}{n - k}, a_{1} = \frac{- 0,5}{k}

(vagyis az (1), (2) egyenlőtlenségeinkben mindenütt egyenlőség áll fenn).
Ha

n

páratlan, akkor a kérdéses különbség legalább

\frac{2 n}{n^{2} - 1}

. Ezt néhányan észre is vették.
2. Többen nem vették figyelembe, hogy az adott számok között nulla is lehet ‐ ezeket minősítettük kissé hiányosnak.
Néhányan konkrét

n

értékekre mutatták meg a feladat feltételének teljesülését, és ebből ,,következtettek'' a többi

n

-re (hogy, úgymond, a továbbiakban ,,látszik'' az állítás igaz volta). Ezek a dolgozatok hibásnak minősültek.