A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a hegyesszögű háromszög csúcsait , , -vel, megfelelő szögeit , , -val úgy, hogy teljesüljön . A magasságok talppontjai legyenek , , , az -val, a -vel és a -vel van szemben.
Az oldal Thalész‐körén rajta van és . Mivel a háromszög hegyesszögű, és -nek ugyanazon partján van, így a kerületi szögek egyenlősége miatt Hasonlóan a többi oldalon és . Ezt felhasználva a talpponti háromszög szögeit kifejezhetjük az , , szögekkel: | | Ezek közül a legnagyobb a jelölésünk szerint, s emiatt Tehát Valóban, a talpponti háromszög legnagyobb szöge legalább akkora, mint az eredeti háromszög legnagyobb szöge. Egyenlőség akkor áll fenn, ha . , amiből , következik. Az egyenlőség olyan egyenlő szárú háromszögekre teljesül, amelyekben a szárak által bezárt szög -nál nem kisebb hegyesszög.
Hraskó András (Bp., I. István Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján
Megjegyzések. 1. A talpponti háromszög legkisebb szöge legfeljebb akkora, mint az eredeti háromszög legkisebb szöge. Itt az egyenlőség (szükséges és elégséges) feltétele: . 2. Nem igaz az, hogy az egyenlőség bármilyen egyenlő szárú háromszögre érvényes! Mivel kiinduló feltevésünk szerint , ezért nem elegendő feltétel az egyenlőség. Ha ugyanis lenne, akkor a talpponti háromszögben már nem a nagyságú szög lenne a legnagyobb. A legtöbb hiányos dolgozat szerzője ezt a hibát követte el. |