Kezdőlap


Feladat:	Gy.2095	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csermely Ágnes
Füzet:	1983/szeptember, 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/január: Gy.2095

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje az $n$ -jegyű $A$ szám első jegyét $a$ , az első jegy törlésével kapott számot pedig $B$ . Ekkor

\begin{matrix} A = a \cdot 10^{n - 1} + B . \end{matrix}

(1)

Az a) esetben

A = 57 B

, vagyis (1) alapján

\begin{matrix} a \cdot 10^{n - 1} = 56 B = 8 \cdot 7 \cdot B . \end{matrix}

(2)

Mivel minden pozitív egész egyféleképpen bontható fel prímek szorzatára, a jobb oldalon szereplő

7

-es prímszámnak az

a

prímtényezős felbontásában kell szerepelnie. Tudjuk viszont, hogy

a

számjegy, így

a = 7

. Így (2)-ből kapjuk, hogy

\begin{matrix} 10^{n - 1} = 8 B, vagyis B = 5^{3} \cdot 10^{n - 4} . \end{matrix}

A fenti lépések megfordíthatók, az a) esetben így éppen a

7125 \cdot 10^{k}

alakú számok

(k ≧ 0)

rendelkeznek a mondott tulajdonsággal.
A b) esetben

A = 58 B

, ahonnan (1) alapján

\begin{matrix} a \cdot 10^{n - 1} = 57 B = 3 \cdot 19 \cdot B . \end{matrix}

(3)

A bal oldalon álló szám nem osztható

19

-cel, mert

a

számjegy, így (3) nem teljesülhet. Nincs tehát olyan pozitív egész szám, amely

58

-adára csökken, ha első jegyét töröljük.
Csermely Ágnes (Veszprém, Lovassy L. Gimn., II. o. t.)