Kezdőlap


Feladat:	Gy.2091	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1983/december, 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat, Pont körüli forgatás, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/december: Gy.2091

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Forgassuk el a hatszöget $O$ középpontja körül $120^{\circ}$ -kal.

Ekkor az

A

csúcs

C

-be, a

B

csúcs

D

-be, a

C

csúcs

E

-be kerül, tehát az

A C

átló elforgatottja a

C E

átló. Mivel az

M

pont ugyanolyan arányban osztja az

A C

átlót, mint az

N

pont a

C E

átlót, ezért az elforgatáskor

M

N

-be kerül. Következésképp a

B M

egyenes

120^{\circ}

-os elforgatottja a

D N

egyenes, e két egyenes szöge, azaz

B N D ∢,

éppen

120^{\circ} .

Ez pedig azt jelenti, hogy

N

rajta van a

B D

szakasz

120^{\circ}

-os látókörívén.
A

C

középpontú,

C B = C D

sugarú kör átmegy az

O

ponton. Mivel

B O D ∢ = 120^{\circ},

azért ennek a körnek a hatszögbe eső íve a

B D

szakasz

120^{\circ}

-os látóköríve. Az

N

pont ezen a köríven van, és így

C N = C D = C O .

A C E

háromszög szabályos, oldala

\sqrt[]{3}

-szorosa a körülírt kör sugarának:

C E = \sqrt[]{3} C O

. Ezekből a keresett arányt már kifejezhetjük:

\begin{matrix} r = \frac{C N}{C E} = \frac{C O}{\sqrt[]{3} C O} = \frac{1}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

Megjegyzés. Többen megsejtették, hogy

A M = C N = B C

, és be is látták, hogy ha így vesszük fel az

M

és

N

pontokat, akkor

B, M

és

N

egy egyenesre esik. Ilyen esetben a feladat teljes megoldásához még igazolni kell azt is, hogy az

M, N

pontok máshol nem lehetnek, a pontok helyzete egyértelmű.