A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen az öt szám nagyság szerint növekvő sorrendben és . A tíz összeg legkisebbike , ez tehát kisebb 15-nél, a legnagyobbik pedig , ami nagyobb 23-nál. A második legkisebb összeg , a második legnagyobb pedig . A feltétel szerint így A két egyenletet összeadva adódik, vagyis páros szám. A tíz összeg közül ez nem a legkisebb és nem is a legnagyobb, így háromféle értéke lehet: 16, 18 és 20. Mindhárom esetben (1) -gyel együtt egy-egy háromismeretlenes egyenlet rendszert kapunk és ismeretlenekkel. Egy szerencsés észrevétellel azonban elkerülhetjük annak vizsgálatát, hogy az egyes esetekben az egyenletrendszerek megoldásai kiterjeszthetők-e a feladat megoldásává. A tíz összeg legnagyobbikat és legkisebbikét elhagyva a megmaradt nyolc összeg összege | | (2) | vagyis 2 maradékot ad 3-mal osztva. Az feltétel szerint 1 maradékot ad 3-mal osztva, vagyis . Mivel legalább 2-vel kisebb, mint , ezért legfeljebb 14 lehet, ami ellentmond (1)-nek. A feladatnak tehát nincsen egész megoldása. Ratkó Júlia (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., L o. t.) és Kós Géza (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.) dolgozatai nyomán II. megoldás. Rendezzük ismét nagyság szerint az öt ismeretlen számot. Ekkor teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek: | | (3) | | | (4) |
Látható, hogy a legkisebb, az utána következő; a legnagyobb, és az előtte levő. A többi 6 összeg értéke tehát valamilyen sorrendben 16, 17, 18, 19, 20 és 21. E hat összeg összege: | | (5) | vagyis páratlan szám: értéke 17, 19 vagy 21. Másfelől biztosan kisebb, mint és , viszont biztosan nagyobb, mint és . A három szóba jövő páratlan szám közül csak a 19-nél van legalább két kisebb és legalább két nagyobb a hat szám között, tehát . A megadott összegek közül pontosan kettő nagyobb nála, a 20 és a 21. Ezek tehát valamilyen sorrendben az és az . E két összeg összege így Mivel és , kapjuk, hogy . Ez pedig lehetetlen, hiszen a 22 nem szerepel a megadott összegek között. Azt kaptuk tehát, hogy nincs olyan öt különböző pozitív egész szám, amelyekre teljesülnének a feltételek.
Megjegyzés. A megoldásokban nem használtuk ki, hogy az öt szám pozitív, a feltételek tehát az egész számok körében sem teljesülhetnek. A számoknak mindenképpen különbözőknek kell lenniük, mert ha öt szám között vannak egyenlők, akkor a belőlük képezhető tíz két tagú összeg között legfeljebb hét különböző lehet. Elképzelhető, hogy a valós számok körében már van megoldása a feladatnak, vizsgáljuk most meg ezt a lehetőséget. A második megoldás gondolatmenete szerint elindulva most páros is lehet. Mivel a vizsgált hat ,,középső'' összeg között van legalább két nála kisebb és legalább két nála nagyobb. Ilyenkor . A 18-nál kisebb két szóba jövő összeg a és , ezek tehát valamelyik sorrendben az és az . így most (5) alapján , ahonnan . Mivel és , kapjuk, hogy és . A tíz érték közül eddig megkaptuk a 15, a 18, a 19 és a 23-at. A hiányzó hat összeg és . E hat összeg közül kettő értéke nem szerepel a nyolc szám között és , a megmaradt négy pedig a 16, 17, illetve a 20 és 21 értékeket állítja elő valamilyen sorrendben. Mivel és különbsége , és ugyanennyi , valamint különbsége is , ezért attól függően, hogy milyennek választjuk és nagyságviszonyát, vagy és , vagy pedig és . Az első esetben , a másodikban pedig . Látható, hogy mind a két esetben megoldást kapunk. A valós számok körében tehát két megoldása van a feladatnak. Ezek | | illetve | |
|