Kezdőlap


Feladat:	Gy.2085	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1983/november, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Érintőnégyszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/november: Gy.2085

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C$ háromszög beírt köre érintse az $A C$ oldalt $B_{1}$ -ben, az $A D C$ háromszögé ugyanazt az oldalt $D_{1}$ -ben. A két beírt kör akkor és csak akkor érinti egymást, ha $B_{1}$ és $D_{1}$ egybeesik.

Egy háromszögben a beírt kör érintési pontja és a szomszédos csúcs távolságát az oldalak ismeretében ki tudjuk számítani:

\begin{matrix} A B_{1} = \frac{1}{2} (A B + B C + A C) - B C = \frac{1}{2} (A B - B C + A C), \\ A D_{1} = \frac{1}{2} (A D + D C + A C) - D C = \frac{1}{2} (A D - D C + A C) . \end{matrix}

B_{1}

és

D_{1}

pont akkor és csak akkor esik egybe, ha

A B_{1} = A D_{1}

, azaz ha

\begin{matrix} A B - B C = A D - D C . \end{matrix}

(1)

Ez tehát szükséges és elégséges feltétele annak, hogy az

A B C

és

A D C

háromszögek beírt körei érintsék egymást. Ugyanígy igazolható, hogy az

A B D

és

B C D

háromszögek beírt körei akkor és csak akkor érintik egymást, ha

\begin{matrix} A D - A B = C D - C B . \end{matrix}

(2)

Mivel (1) és (2) ekvivalensek, ezért a feladatban szereplő két állítás is ekvivalens ‐ speciálisan az elsőből következik a második. Ezzel a feladatot megoldottuk.

Megjegyzések. 1. A megoldásból az is kiadódott, hogy a feladatban szereplő állítások akkor és csak akkor teljesülnek, ha a négyszög érintőnégyszög.
2. Mint megoldóink közül többen észrevették, a feladat megtalálható Skljarszkij‐Csencov‐Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből 2/1. kötet Planimetria c. könyvben (140-es feladat, 233. oldal).