Kezdőlap


Feladat:	Gy.2083	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1983/május, 211 - 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Beírt háromszög, Rombuszok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/november: Gy.2083

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a rombusz csúcsai $A, B, C$ és $D, A C$ a rövidebbik, $B D$ a hosszabbik átló, és legyen $A$ a beírt szabályos háromszög egyik csúcsa. A szabályos háromszög másik két csúcsa, $E$ és $F$ , a rombusz $D C$ , ill. $C B$ oldalán fekszik.

Mivel

E F | | D B

és

A C ⊥ D B

, a rombuszban az átlók merőlegesek egymásra és felezik egymást, ezért

E F ⊥ A C

. AC tehát a szabályos háromszög

A

-ból kiinduló magasságvonala. Legyen az átlók metszéspontja

P

, az

E F

szakasz felezőpontja

Q

, ami egyben a háromszög magasságának talppontja. A keresett magasság

A Q

.
Az

E Q C

és

D P C

háromszögek hasonlóságából

\begin{matrix} \frac{E Q}{Q C} = \frac{D P}{P C} = \frac{4}{3} . \end{matrix}

(1)

A szabályos háromszög magassága egyenlő oldalának

\sqrt[]{3} / 2

-szeresével, így

A Q = (\sqrt[]{3} / 2) E F = \sqrt[]{3} E Q

. Így (1)-ből

\begin{matrix} \frac{4}{3} = \frac{E Q}{Q C} = \frac{A Q / \sqrt[]{3}}{A C - A Q} = \frac{A Q}{\sqrt[]{3} (6 - A Q)}, \end{matrix}

ahonnan a keresett magasság

A Q = \frac{24}{\sqrt[]{3} + 4} = c \frac{96 - 24 \sqrt[]{3}}{13} \approx 4,187

egység. Ennyi a beírt szabályos háromszög magassága.

Megjegyzések. 1. Két sokszög közül az egyik a másikba van írva, ha a második csúcsai az első sokszög oldalain vannak.
2. Fölösleges volt kikötni, hogy a szabályos háromszög egyik oldala párhuzamos legyen a hosszabbik átlóval. Forgassuk el ugyanis a rombuszt az A csúcsa körül

60^{\circ}

-kal negatív irányba. Látható, hogy az elforgatott rombusznak csak egy oldala metszi az eredeti rombuszt, mégpedig

B C

elforgatottja,

B^{'} C^{'}

, a

B D

oldalt. S mivel beírható szabályos háromszög a rombuszba úgy, hogy egyik oldala párhuzamos az átlóval, következik, hogy csak így lehet beírni.