A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Négy pont esetén egy, a feltételeknek megfelelő színezés látható az ábrán. Állítjuk, hogy több pont esetén már nem lehet a szakaszokat megfelelően kiszínezni. Először is belátjuk, hogy semelyik pontból sem indulhat ugyanolyan színű szakasz. Válasszunk ki ugyanis a pontok közül -et. Jelöljük ezeket , , és -vel. Állításunkkal ellentétben kösse össze -t és -vel ugyanolyan színű szakasz. Legyen ez a szín mondjuk piros. Ekkor sem , sem , sem nem lehet piros, mert akkor nem teljesülne a b) feltétel. Legyen zöld, ekkor az a) feltétel miatt és is csak zöld lehet. így viszont háromszög oldalai egyszínűek, ellentétben a b) feltétellel. Egy pontból tehát legfeljebb ugyanolyan színű szakasz indulhat, és mivel csak kétféle színt használhatunk fel az egy pontból induló szakaszok színezésénél, ezért egy pontból legfeljebb szakasz indulhat. Ebből már következik, hogy a pontok száma legfeljebb lehet. Az pont, ha nincs közülük egy egyenesen, összesen szakaszt határoz meg. Ha kiválasztok egyet és abból két piros szakaszt indítok, akkor azokból a pontokból, ahová ezek a szakaszok befutnak, egy további piros szakasz indul. A b) feltétel miatt ezek különböző szakaszok, ezért legalább piros szakasz van. Mivel ez a másik két színre is igaz, s mind a három szint fel kell használni, minimum szakasz kellene. Az pont között viszont csak szakasz húzható, így pont esetén sem lehet a szakaszokat úgy kiszínezni, hogy valamennyi feltétel teljesüljön. Ezzel állításunkat igazoltuk. Borsodi Brigitta (Tata, Eötvös J. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján
Megjegyzés. Nagyon sok hibás dolgozat érkezett a feladat félreértelmezése miatt. Többen külön-külön vizsgálták a feltétel teljesülését, holott azoknak egyszerre kell teljesülniük. Néhányan nem találták meg pontra a jó színezést, mivel azt úgy keresték, hogy ponthoz talált megoldáshoz hozzávettek egy pontot. Így valóban nem lehet a feladat feltételeit teljesíteni, hiszen a pont közül bárhogyan is választunk ki -at, az általuk meghatározott szakaszok között van két egyező színű. Nem kaptak pontot azok, akik egyetlen színezést mutatva meg, kijelentették, hogy az pontra nem végezhető el. Ez még nem jelenti, hogy nem létezik esetleg a feladat feltételeit kielégítő megoldás. Ezt láthattuk is, pont esetén is egyaránt találhatunk jó és rossz színezést. A hiányos dolgozatok többsége pontra bizonyította a színezés lehetetlenségét, de nem mutatta meg, hogy -nél több pont esetén sem lehetséges a feltételeknek eleget tenni. A kérdés viszont az volt, hogy "legfeljebb hány pont'' színezhető. |