A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A szóban forgó számok közül elegendő azokat vizsgálnunk, amelyek nem tartalmazzák a számjegyet, ugyanis a pontosan kilencjegyű megfelelő számok száma 9! = 362 880, vagyis a legalább tízjegyű, adott tulajdonságú számok valamennyien ennél nagyobb sorszámúak lesznek. Ha a legnagyobb helyi értékű számjegyet rögzítjük, akkor a további nyolc helyre az összes lehetséges sorrendben beírva a maradék nyolc számjegyet; összesen -féle kilencjegyű számot kapunk. Ha tehát az első helyen -es áll, akkor a kezdő 40 320 darab számot kapjuk meg, ha -es, akkor a következő 40 320-at, azaz a 40 321-ediktől 80 640-edikig, ha pedig -as, akkor a 80 641-ediktől a 120 960-adikig kapjuk meg a számokat. Látható, hogy a keresett, 100 000-edik helyen álló szám első jegye -as. A továbbiakban azt kell megvizsgálnunk, hogy az 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 jegyek mindegyikét pontosan egyszer tartalmazó nyolcjegyű számok közül melyik a -adik, nagyság szerint. Ha most egy nyolcjegyű számban rögzítjük az első jegyet, akkor a további hét jegy minden lehetséges sorrendjének megfelelően különböző számot kapunk. 19 360 = , tehát a második helyen szóba jövő számjegyek közül sorrendben a negyediket kiválasztva kaphatjuk meg a 19 360-adik nyolcjegyű számot. Ez a számjegy most az -ös. Tovább haladva az 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9 jegyekből álló hétjegyű számok közül kell megkeresnünk a -ediket. Egy hétjegyű szám első jegyét rögzítve -féle számot kapunk. , így a még szóba jöhető számjegyek közül a hatodikat, a -ast kell kiválasztanunk a harmadik helyre. Most az 1, 2, 4, 6, 7, 9 jegyekből álló hatjegyű számok közül kell megkeresnünk a -ediket. Egy hatjegyű szám első jegyét rögzítve -féle számot kapunk. , azaz a még lehetséges jegyek közül a hatodikkal ‐ a -essel ‐ kezdődők között lesz a -edik. A még megmaradt 1, 2, 4, 6, 7 számokból álló ötjegyű számok között kell megtalálnunk a -ediket. Az első jegyet rögzítve -féle számot kaphatunk. , tehát a még felhasználható számjegyek közül a második, a -es áll a következő helyen. A továbbiakban az 1, 4, 6, 7 számjegyekből álló négyjegyű számok között kell megkeresnünk a -odikat. Tovább haladva , így most a fenti négy jegy közül a harmadikat kell választanunk, és az 1, 4, 7 számokból álló háromjegyű számok közül van szükségünk a -edikre. , vagyis a -edik szám első jegye a fenti három jegy közül a második, a -es, az utolsó két jegy pedig és . A keresett szám tehát 358 926 471. Megjegyzés. Ha az első kilenc pozitív egész mindegyikét pontosan egyszer tartalmazó számok halmazát -val jelöljük, akkor a megoldásban lényegében arra van szükség, hogy összeszámoljuk, hogy az -beli számra mennyi az -nál kisebb -beli számok száma. Ezek a számok aszerint csoportosíthatók, hogy melyik az a legelső helyiérték, ahol kisebb jegy áll bennük, mint -ban. Ha ez az -edik, akkor erre a helyre beírhatjuk az összes olyan, -nél kisebb számot, amit az -ediknél nagyobb helyiértékeken még nem használtunk fel, a további helyen pedig a megmaradt darab szám valamennyi darab sorrendje lehetséges. Ha tehát az első természetes szám egy sorrendjében jelöli az -nél kisebb indexű ‐ azaz a fenti sorban mögött álló ‐, -nél kisebb számok számát, akkor az -nál kisebb -beli számok száma | | (1) |
Arra a -beli számra van szükségünk, amelyre a fenti érték éppen 99 999. Ismeretes, hogy minden természetes szám felírható a fenti alakban, "faktoriális számrendszerben'', azaz minden természetes számra van olyan nem negatív egész, hogy | | (2) | Ha még azt is föltesszük, hogy , akkor a fenti felírás egyértelmű. Mivel pedig (1)-ben , hiszen mögött a sorban összesen darab szám áll, ezért a 99 999 szám (2) alakjában az együtthatók éppen a számok. A megoldásban lényegében a 100 000 (2) alakban történő felírására került sor. | | azaz , , , , , , és . Az első kilenc pozitív egésznek az permutációja lesz a keresett szám, amelyben minden -nél nagyobb -re mögött éppen darab -nál kisebb szám áll a sorban. Nyilvánvaló, hogy ha az -nél nagyobb indexű jegyeket már megkaptuk, akkor a megmaradt darab szám közül nagyság szerint a -edik lesz. Így nyerjük rendre a keresett jegyeket: , , , , , , , . Az egyetlen kimaradt jegy, az -es lesz tehát , vagyis a keresett szám |