Kezdőlap


Feladat:	Gy.2072	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1983/április, 160. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/október: Gy.2072

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a három számot $x_{1}$ , $x_{2}$ és $x_{3}$ . Ha megmutatjuk, hogy $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) (x_{3} - 1)$ pozitív, akkor ebből következik az állítás, hisz ekkor a szorzatban a negatív tényezők száma páros, és mindhárom tényező nem lehet pozitív, mert ekkor mindhárom szám, és így a szorzatuk is nagyobb volna $1$ -nél.
A beszorzásokat elvégezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} (x_{1} - 1) (x_{2} - 1) (x_{3} - 1) = x_{1} x_{2} x_{3} - (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}) + (x_{1} + x_{2} + x_{3}) - 1. \end{matrix}

A feltétel szerint

x_{1} x_{2} x_{3} = 1

, vagyis egyrészt

x_{1} x_{2} x_{3} - 1 = 0

, másrészt

\begin{matrix} x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1} = \frac{x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}}{x_{1} x_{2} x_{3}} = \frac{1}{x_{3}} + \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} (x_{1} - 1) (x_{2} - 1) (x_{3} - 1) = x_{1} + x_{2} + x_{3} - (\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}}), \end{matrix}

ami a feltétel szerint valóban pozitív. Ezzel az állítást igazoltuk.

Megjegyzés. A fenti bizonyításban a számokról nem használtuk ki, hogy pozitívak, arra nincs szükség.