Feladat: Gy.2071 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Pál Gábor 
Füzet: 1983/április, 159. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Racionális számok és tulajdonságaik, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/október: Gy.2071

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy eredetileg n darab számot írtunk a táblára, a letörölt számot pedig jelöljük i-vel. A feltétel szerint

A=1+2+...+(n-1)+n-in-1=60217=35717.
Az első n-1 pozitív egész összege n(n-1)2 , ahonnan
A=n2+n-in-1.
A jobb oldal második tagja 0 és 1 közé esik (a határokat is megengedve), első tagjára tehát 34 7/17≦n/2≦35 7/17. Ugyanakkor az első tag, n/2, egész, vagy pedig egy egész szám fele, értéke így vagy 34,5 vagy 35.
Ha n/2 = 34,5, akkor n=69, vagyis 69-i68=717+12 , ahonnan i=7. Lépéseink megfordíthatók, így ez az eset lehetséges.
Ha n/2=35, akkor n=70, vagyis 70-i69=717 , ahonnan i=70717 ami nem egész, így ilyenkor nem kapunk megoldást.
A tábláról tehát a 7-et töröltük le.
 

II. megoldás. A táblán maradt számok összegét S-sel jelölve
S=60217⋅(n-1).
Mivel S egész és (602;17)=1, azért n-1 osztható 17-tel. A letörölt szám 1 és n közé esik, így
2+3+...+n≧S≧1+2+...+(n-1),
vagyis
(n-1)(n+2)2≧60217(n-1)≧(n-1)n2.

Az egyenlőtlenségeket rendezve kapjuk, hogy
6914/17≧n-1≧6714/17.

A kapott korlátok között egyetlen 17-tel osztható szám van, a 68. Innen S=2408, a letörölt szám pedig (1+2+...+n)-S=2415-2408=7. A letörölt szám tehát a 7 volt.
 

Pál Gábor (Budapest, Leőwey K. Ált. Isk. 8. o. t.)