Feladat:	Gy.2070	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh Buhin Ákos
Füzet:	1983/április, 158. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Többszemélyes véges játékok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/október: Gy.2070

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3+\square x^2+\square x+\square =0}\end{array}$ (1) Megoldás. Ha a kezdő nullának választja a konstans tagot, akkor az egyenletnek a játék folytatásától függetlenül gyöke lesz a $0$, ugyanis ilyenkor (1) $\begin{array}{c}{\displaystyle x\left(x^2+\square x+\square \right)=0}\end{array}$ alakban írható. A játék tehát ekkor lényegében az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+\square x+\square =0}\end{array}$ (2) egyenlettel folytatódik.   Ha a második játékos (2)-ben az első fokú tag együtthatóját tölti ki, akkor a kezdő a megmaradt együtthatót ismét $0$-nak választhatja, és így végeredményül az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3+a{x}^2=0}\end{array}$ egyenlet jön létre. Ennek gyökei $x_1=x_2=0$, $x_3=-a$ valóban egészek.   Ha a második játékos (2)-ben a konstans értékét írja be, akkor (2) az alábbi módon alakul: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+\square x+b=0}\end{array}$ (3) A kezdőnek olyan számra van szüksége $x$ együtthatójaként, hogy a létrejövő másodfokú polinomnak két egész gyöke legyen. Ez pedig elérhető, ha ide a $-\left(b+1\right)$ számot írja, hiszen $x^2-\left(b+1\right)x+b=\left(x-1\right)\left(x-b\right)$.   Ebben az esetben az eredeti (1) egyenlet végül $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3-\left(b+1\right)x^2+bx=0}\end{array}$ alakú, az egyenlet gyökei pedig $0$, $1$ és $b$.   Németh Buhin Ákos (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)