A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat szövegét úgy értjük, hogy el kell döntenünk: van-e olyan konvex négyszög, amely nem bontható fel konkáv ötszögekre, vagy pedig az összes konvex négyszög felbontható ily módon. Állítjuk, hogy ez utóbbi a helyzet. Legyen ugyanis egy tetszőleges konvex négyszög, és húzzuk meg valamelyik átlóját pl. -t. Vegyük fel az átló különböző partján, de a négyszög belsejében az és pontokat, legyen például az háromszög belső pontja. Az és ötszögek két részre darabolják a négyszöget. Belátjuk, hogy azok konkávok. Messe ugyanis az szakasz az átlót a négyszög belső pontjában (1. ábra). 1. ábra Az háromszögben , ezért az őt -ra kiegészítő szög, mely szöge az ötszögnek, nagyobb -nál. Így valóban konkáv. Hasonlóképpen láthatjuk be, hogy az ötszög -nél levő szöge -nál nagyobb, így ez is konkáv.
Megjegyzések. 1. A négyszög felbontását másféleképpen is elvégezhetjük: A 2. ábra olyan felbontást mutat, amelyben darab konkáv ötszög szerepel. 2. ábra Az ábra a következőképpen jött létre. Először meghúztuk a két átlót, majd megjelöltük az átlók metszéspontja és a csúcsok közé eső szakaszok felező pontjait. Ezek rendre , , és . Az , pontokon keresztül párhuzamosokat húztunk a átlóval. A levágott kis háromszögek belsejében felvettük a , , , pontokat. Annak meggondolását, hogy az így kapott darab , , , , , ötszög konkáv, az olvasóra bízzuk. 2. Az állítás nemcsak konvex négyszögekre, hanem tetszőleges sokszögre érvényes. Ugyanis minden sokszög ‐ konvex vagy konkáv ‐ felbontható háromszögekre, egy háromszög pedig az alábbi módon konkáv ötszögre (3. ábra). 3. ábra |