Kezdőlap


Feladat:	Gy.2067	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1983/március, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Sokszög lefedések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/szeptember: Gy.2067

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat szövegét úgy értjük, hogy el kell döntenünk: van-e olyan konvex négyszög, amely nem bontható fel konkáv ötszögekre, vagy pedig az összes konvex négyszög felbontható ily módon. Állítjuk, hogy ez utóbbi a helyzet. Legyen ugyanis $A B C D$ egy tetszőleges konvex négyszög, és húzzuk meg valamelyik átlóját pl. $A C$ -t. Vegyük fel az átló különböző partján, de a négyszög belsejében az $E$ és $F$ pontokat, legyen például $E$ az $A B C$ háromszög belső pontja. Az $A E F C B$ és $A E F C D$ ötszögek két részre darabolják a négyszöget. Belátjuk, hogy azok konkávok. Messe ugyanis az $E F$ szakasz az $A C$ átlót a négyszög belső $M$ pontjában (1. ábra).

1. ábra

A E M

háromszögben

A E M ∢ < 180^{\circ}

, ezért az őt

360^{\circ}

-ra kiegészítő szög, mely szöge az

A E F C B

ötszögnek, nagyobb

180^{\circ}

-nál. Így

A E F C B

valóban konkáv. Hasonlóképpen láthatjuk be, hogy az

A E F C D

ötszög

F

-nél levő szöge

180^{\circ}

-nál nagyobb, így ez is konkáv.

Megjegyzések. 1. A négyszög felbontását másféleképpen is elvégezhetjük: A 2. ábra olyan felbontást mutat, amelyben

6

darab konkáv ötszög szerepel.

2. ábra

Az ábra a következőképpen jött létre. Először meghúztuk a két átlót, majd megjelöltük az átlók metszéspontja és a csúcsok közé eső szakaszok felező pontjait. Ezek rendre

F_{1}

F_{2}

F_{3}

és

F_{4}

. Az

F_{1}

F_{3}

pontokon keresztül párhuzamosokat húztunk a

B D

átlóval. A levágott kis háromszögek belsejében felvettük a

G_{1}

G_{2}

G_{3}

G_{4}

pontokat. Annak meggondolását, hogy az így kapott

6

darab

(A F_{1} G_{1} F_{2} B

B F_{2} G_{2} F_{3} C

C F_{3} G_{3} F_{4} D

D F_{4} G_{4} F_{1} A

F_{2} G_{1} F_{1} G_{4} F_{4}

F_{4} G_{3} F_{3} G_{2} F_{2})

ötszög konkáv, az olvasóra bízzuk.
2. Az állítás nemcsak konvex négyszögekre, hanem tetszőleges sokszögre érvényes. Ugyanis minden sokszög ‐ konvex vagy konkáv ‐ felbontható háromszögekre, egy háromszög pedig az alábbi módon

2

konkáv ötszögre (3. ábra).

3. ábra