Kezdőlap


Feladat:	Gy.2066	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1983/november, 133 - 134. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb szinezési problémák, Sakktáblával kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/szeptember: Gy.2066

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A színezésre vonatkozó feltétel azt jelenti, hogy akárhogyan vesszük ki a sakktáblának egy $2 \times 2$ -es részét, abban mind a négy szín előfordul. Az $1 a$ és $1 b$ ábrákon 16+9=25 ilyen négyzetet jelöltünk meg. Így ha összeszámoljuk, hogy az egyes színekből ezekben együttvéve mennyi van, mind a négy színre 25-öt kapunk. Az $1 c$ ábra azt mutatja, hogy az összeszámlálásnál az egyes bmezők színeit hányszor kell figyelembe vennünk,

1a ábra

1b ábra

1c ábra

Hasonlóan a

2 a

és

2 b

ábrákon megjelölt 12+12=24 darab

2 \times 2

-es négyzetben számolva a színeket, mindegyik szín 24-szer fordul elő. Ha tehát a

2 c

ábra szerint számoljuk össze a mezők színeit, mindegyik szín 24-szer fordul elő ‐ ha pedig az

1 c

ábra szerint, akkor 25-ször. S mivel az

1 c

ábra a

2 c

ábrától csak abban különbözik, hogy a négy sarokmező színét az előbbiben egyszer, az utóbbiban egyszer sem számíthatjuk, azt kapjuk, hogy ezen a négy mezőn a négy szín mindegyikének pontosan egyszer kell előfordulnia. A négy sarokmező színe tehát különböző, s ezt kellett bizonyítanunk.

2a ábra

2b ábra

2c ábra

Megjegyzések. 1. Az állítás hasonlóan bizonyítható minden olyan sakktáblára, melynek mindkét oldalán páros számú mező van.
2. Nem igaz, hogy a színezésnek "szabályosnak'' kellene lennie. A 3. ábrán bemutatott színezésre például nem igazak az alábbi kijelentések: "az első sorban a színek kettesével vagy négyesével ismétlődnek'', "minden második sor és oszlop egyezik'' stb.

3. ábra