Kezdőlap


Feladat:	Gy.2060	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1987/január, 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Derékszögű háromszögek geometriája, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/május: Gy.2060

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A B C$ háromszög három oldalfelező pontja $F_{A}$ , $F_{B}$ , és $F_{C}$ , az egyenes és az $O F_{A}$ , $O F_{B}$ , $O F_{C}$ szakaszok által meghatározott szögek legnagyobbika $φ$ (ha több ilyen van, akkor az egyik). Feltehetjük, hogy az egyenes $O F_{C}$ -vel zár be $φ$ nagyságú szöget, és hogy $X$ , $Y$ és $Z$ az ábrán látható módon helyezkednek el.

Ekkor

φ ≧ 60^{\circ}

, mert

F_{A} O F_{B} ∢ = F_{B} O F_{C} ∢ = F_{C} O F_{A} ∢ = 120^{\circ}

, és

φ < 90^{\circ}

, mert

φ = 90^{\circ}

esetén az egyenes párhuzamos lenne a háromszög valamelyik oldalával, de feltételünk szerint az egyenes minden oldalegyenest metsz. Egyszerű számolással kapjuk, hogy ha

F_{C} O Z ∢ = φ

, akkor

F_{A} O Y ∢ = 120^{\circ} - φ

és

F_{B} O X ∢ = φ - 60^{\circ}

. Feltehetjük, hogy

O F_{A} = O F_{B} = O F_{C} = 1

, ekkor a derékszögű háromszögekből:

\begin{matrix} O X = \frac{1}{cos (φ - 60^{\circ})}, O Y = \frac{1}{cos (120^{\circ} - φ)} és O Z = \frac{1}{cos φ} . \end{matrix}

Ezért elegendő megmutatnunk, hogy a

cos^{2} (φ - 60^{\circ}) + cos^{2} - (120^{\circ} - φ) + cos^{2} φ

összeg állandó. Az addíciós tételek felhasználásával kapjuk, hogy

\begin{matrix} cos^{2} (φ - 60^{\circ}) + cos^{2} (120^{\circ} - φ) + cos^{2} φ = \\ = {(cos φ cos 60^{\circ} + sin φ sin 60^{\circ})}^{2} + \\ + {(cos 120^{\circ} cos φ + sin 120^{\circ} sin φ)}^{2} + cos^{2} φ = \\ = \frac{3}{2} (cos^{2} φ + sin^{2} φ) = \frac{3}{2} . \end{matrix}

Ezzel állításunkat beláttuk.

Megjegyzés: Ha az egyenes párhuzamos valamelyik oldallal, például

A B

-vel, akkor

\frac{1}{O X^{2}} = 0

-val számolva szintén a fenti eredményhez jutunk. Az is könnyen adódik, hogy ha

O F_{A} = O F_{B} = O F_{C} = ϱ

, a háromszög beírt körének sugara, akkor

\frac{1}{O X^{2}} + \frac{1}{O Y^{2}} + \frac{1}{O Z^{2}} = \frac{3}{2 ϱ^{2}}