Az $|x-y|$ értéke $\left(x-y\right)$ vagy $\left(y-x\right)$ attól függően, hogy $x$ és $y$ közül melyik a nagyobb. Így ha a $K$ kifejezésben felbontjuk az abszolút érték jeleket, akkor az $\mathrm{1,2,}\text{...}10$ számok mindegyike kétszer szerepel, mégpedig úgy, hogy a húsz szám közül tíznek pozitív, tíznek pedig negatív az előjele. Ez azt jelenti, hogy $K$ értéke legfeljebb $2\left(10+9+9+8+7+6\right)-2\left(1+2+3+4+5\right)=50$ lehet. Ez viszont lehetséges is, például úgy, ha $a_1=\mathrm{10,}{a}_2=\mathrm{1,}{a}_3=\mathrm{9,}{a}_4=\mathrm{2,}{a}_5=\mathrm{8,}{a}_6=\mathrm{3,}{a}_7=\mathrm{7,}{a}_8=\mathrm{4,}{a}_9=\mathrm{6,}{a}_{10}=5.$
$K$ legkisebb értékének megkereséséhez indítsunk el egy bogarat a számegyenesen $a_1$-ből. Menjen először $a_2$-be, onnan tovább $a_3$-ba, majd $a_4$-be, és így tovább, végül $a_{10}$-ből vissza $a_1$-be. $K$ értéke nyilván a bogár körutazásának a hossza. Azt állítjuk, hogy útja közben a bogár az $\left[1;10\right]$ intervallum minden pontján legalább kétszer halad át. Az egész számokra ez nyilván igaz, mert minden egész szám egy szakasz kezdő és egy másik szakasz végpontja. Ha $x$ nem egész, akkor van olyan $a_i$, amelyet $x$ elválaszt $a_1$-től. Ekkor $a_1$-ből $a_i$-be menet a bogár áthalad $x$-en, és mivel útja $a_1$-ben végződik, ezért legalább még egyszer érintenie kell $x$-et.
A bogár tehát legalább kétszeresen járja be az $\left[1;10\right]$ szakaszt, így $K$ legalább kétszer akkora, mint a szakasz hossza, azaz legalább $18$. Ez lehetséges is, például úgy, ha $a_i=i\left(i=\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,10}\right)$. Így $18\leqq K\leqq 50$.