Kezdőlap


Feladat:	Gy.2051	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Mócsy Miklós
Füzet:	1983/április, 155 - 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszögek geometriája, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/április: Gy.2051

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a négyszög oldalait $a$ , $b$ , $c$ , $d$ -vel, kerületét $k$ -val. Mivel $a$ , $b$ , $c$ és $d$ bármelyike osztója a másik három összegének, nyilván osztója az $a + b + c + d = k$ -nak is. Legyen

\begin{matrix} A = \frac{k}{a}, B = \frac{k}{b}, C = \frac{k}{c}, D = \frac{k}{d}, \end{matrix}

itt

A

B

C

és

D

pozitív egészek. Ezek mindegyike nagyobb kettőnél, hiszen ellenkező esetben a négyszög nem létezne.

Most

\begin{matrix} \frac{k}{A} + \frac{k}{B} + \frac{k}{C} + \frac{k}{D} = a + b + c + d = k, azaz \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} + \frac{1}{D} = 1. \end{matrix}

Tegyük fel, hogy

a

b

c

és

d

mind különbözőek volnának. Ekkor

A

B

C

és

D

is azok, amiből

\begin{matrix} \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} + \frac{1}{D} ≦ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{19}{20} < 1 \end{matrix}

következik. Ez ellentmondás, tehát feltevésünk nem lehet helyes.
A feladat feltételeinek megfelelő négyszög létezése könnyen látható (pl.

a = 2

b = 4

c = d = 3

Mócsy Miklós (Bp., I. István Gimn., II. o. t.)