Feladat:	Gy.2047	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/november, 135. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Gyakorlat, Egészrész, törtrész függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/április: Gy.2047

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \left[\sqrt[]{\left[x\right]}\right]=\left[\sqrt[]{\sqrt[]{x}}\right]}\end{array}$ (1) Megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy egy adott $n$ egész szám mikor lesz benne a bal, illetve a jobb oldalon álló függvény értékkészletében. Az egész rész értelmezése alapján $\left[\sqrt[]{x}\right]=n$ pontosan akkor teljesül, ha $n\leqq \sqrt[]{\left[x\right]}<n+1$. Négyzetre emelés után az egyenlőtlenségek iránya nem változik, hiszen a szereplő mennyiségek nem negatívak. $\begin{array}{c}{\displaystyle n^2\leqq \left[x\right]<{\left(n+1\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel az $\left[x\right]$-re kapott korlátok egészek, a kapott egyenlőtlenségek $x$-re is teljesülnek. Azt kaptuk tehát, hogy $\left[\sqrt[]{\left[x\right]}\right]=n$ pontosan akkor teljesül, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle n^2\leqq x<{\left(n+1\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Hasonlóan kapjuk, hogy $\left[\sqrt[]{\sqrt[]{x}}\right]=n$ pontosan akkor teljesül, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle n^4\leqq x<{\left(n+1\right)}^4\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Ha tehát $x$ megoldása (1)-nek, akkor a közös helyettesítési értéket $n$-nel jelölve teljesülnie kell (2)-nek és (3)-nak, de ekkor $n$-re fenn kell álljon, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle n^4<{\left(n+1\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Négyzetgyököt vonva (mindkét oldal nemnegatív) $n^2<n+1$ adódik, ez pedig csak $n=0$ vagy $n=1$ esetében teljesül, hiszen $n$ egész. Ezt (2)-vel egybevetve $0\leqq x<1$, illetve $1\leqq x<4$, (3)-ból $0\leqq x<1$, illetve $1\leqq x<16$ adódik. Ha tehát $0\leqq x<1$, akkor (1)-ben mindkét oldal értéke $0$, ha pedig $1\leqq x<4$, akkor (1)-ben mindkét oldal értéke $1$. Az egyenletnek tehát azok az $x$ számok a megoldásai, melyekre $0\leqq x<4$.   Megjegyzés. A megoldásból az is kiderül, hogy ha $x>4$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \left[\sqrt[]{\left[x\right]}\right]>\left[\sqrt[]{\sqrt[]{x}}\right]\mathrm{.}}\end{array}$