Kezdőlap


Feladat:	Gy.2046	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fodor Gyula
Füzet:	1982/november, 134. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Legkisebb közös többszörös, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/április: Gy.2046

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a számok legkisebb közös többszöröse $A$ . A feltétel azt jelenti, hogy

\begin{matrix} \frac{A}{a_{1}} > \frac{A}{a_{2}} > ... > \frac{A}{a_{n}} . \end{matrix}

Tudjuk, hogy

A

minden

a_{i}

-nek többszöröse, így a most felsorolt számok egészek. Mivel

n

darab különböző pozitív egész legnagyobbika legalább

n

, így

\frac{A}{a_{1}} ≧ n

, ahonnan

n

-nel szorozva a bizonyítandó állítást kapjuk.

Fodor Gyula (Budapest, Móricz Zs. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. A megoldásunkból az is látszik, hogy az állítás nem javítható. Legyen például

A = n!

, és

a_{i} = A / (n + 1 - i)

i = 1,2, ..., n

, akkor

A

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

számok legkisebb közös többszöröse, és

n \cdot a_{1}

-gyel egyenlő.