Feladat: Gy.2044 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1982/november, 134. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Gyakorlat, Egyéb sokszögek geometriája, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/március: Gy.2044

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Képezzük az adott pontok konvex burkát, azaz azt a legszűkebb konvex halmazt, amely tartalmazza az adott pontokat. Ez a konvex burok olyan sokszög, amelynek csúcsai az adott pontok közül valók. Két eset lehetséges:
a) A konvex burok hatszög. Ekkor ‐ mivel egy konvex hatszög belső szögeinek összege 720∘, nem lehet minden szöge kisebb, mint 120∘, azaz van a hatszögnek legalább 120∘-os szöge, és ez a hatszög konvexitása miatt 180∘-nál kisebb. Tehát ez a szög szöge egy olyan háromszögnek is, melynek csúcsai az adott pontok közül valók (1. ábra).

 

1. ábra
 

b) A konvex burok öt-, négy- vagy háromszög. Ekkor van az adott pontok közül pont a konvex burok belsejében, legyen ez A. Mivel egy konvex sokszöget az egy csúcsból induló átlók olyan háromszögekre bontanak, melyek együtt lefedik a sokszöget, találhatók a konvex buroknak olyan csúcspontjai ‐ jelölje ezeket C, D, B ‐, melyek által alkotott háromszög belsejében van az A pont. Mivel CAD∢+DAB∢+BAC∢=360∘, a CAD∢, DAB∢, BAC∢ legnagyobbika legalább 120∘, s így ez eleget tesz a kívánalmaknak (2. ábra).
 

2. ábra