Kezdőlap


Feladat:	Gy.2040	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ladányi László
Füzet:	1983/január, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Gyakorlat, Indirekt bizonyítási mód
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/március: Gy.2040

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük föl, hogy vannak olyan $a$ , $b$ , $c$ , $d$ valós számok, amelyekre

\begin{matrix} a d - b c = 1 \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + a b + c d = 1. \end{matrix}

(2)

E két egyenlet alapján

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + a b + c d = a d - b c . \end{matrix}

Rendezzük az egyenletet és szorozzuk 2-vel:

\begin{matrix} 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} + 2 d^{2} + 2 a b + 2 c d - 2 a d + 2 b c = 0. \end{matrix}

Tovább rendezve:

\begin{matrix} {(a + b)}^{2} + {(c + d)}^{2} + {(a - d)}^{2} + {(b + c)}^{2} = 0. \end{matrix}

A bal oldalon minden tag nem negatív, tehát egyenlőség csak akkor áll fenn, ha minden tag zérussal egyenlő, azaz

\begin{matrix} a + b = 0 c + d = 0 a - d = 0 b + c = 0 \end{matrix}

Vagyis

a = - b

c = - d

, tehát

a d = b c

.
Ekkor viszont

a d - b c \neq 1

. Ellentmondásra jutottunk a föltevésünkkel, és ezzel igazoltuk az állítást.

Megjegyzések. 1. Az előzőhöz hasonlóan igazolható, hogy az

\begin{matrix} a d - b c = k, \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + a b + c d = k \end{matrix}

egyenlőségek egyidejűleg akkor és csak akkor teljesülnek, ha

a = b = c = d = k = 0

.
2. A komplex számok körében a feladat állítása már nem igaz. Ha pl.

\begin{matrix} a = b = 1, c = \frac{i \sqrt[]{3} - 1}{2}, d = \frac{i \sqrt[]{3} + 1}{2}, \end{matrix}

akkor az (1) és (2) egyenlőségek teljesülnek.

Ladányi László (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.)