Kezdőlap


Feladat:	Gy.2039	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Almási László
Füzet:	1982/november, 140 - 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/március: Gy.2039

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tekintsük a három legnagyobb számot. Ha ezek legkisebbike $2$ -nél kisebb, akkor a további $47$ szám ugyancsak kisebb mint $2$ , így összegük, $S$ , kisebb, mint $47 \cdot 2$ , ami $94$ . Az $S$ -et $100$ -ra kiegészítő háromtagú összeg ‐ a három legnagyobb szám összege ‐ így nagyobb, mint $6$ . Ha viszont a három legnagyobb szám legkisebbike legalább $2$ , akkor e három szám összege legalább $6$ .
Beláttuk tehát, hogy a három legnagyobb számra teljesül a feladat állítása.

Almási László (Pécs, Nagy Lajos Gimn., I. o. t.)

II. megoldás. Jelölje a számokat rendre

a_{1}, a_{2}, ..., a_{50}

, és készítsük el az alábbi

50

háromtagú összeget:

\begin{matrix} S_{1} = a_{1} + a_{2} + a_{3}, S_{2} = a_{2} + a_{3} + a_{4}, ..., S_{48} = a_{48} + a_{49} + a_{50}, \end{matrix}

\begin{matrix} S_{49} = a_{49} + a_{50} + a_{1}, S_{50} = a_{50} + a_{1} + a_{2} . \end{matrix}

Ekkor

S_{1} + S_{2} + ... + S_{50} = 3 (a_{1} + a_{2} + ... + a_{50}) = 300 = 50 \cdot 6

. Az állítás most már következik abból, hogy ha

50

szám összege

50 \cdot 6

, akkor nem lehet a számok mindegyike

6

-nál kisebb.

III. megoldás. Képezzük az

50

számból készíthető összes lehetséges háromtagú összegek összegét. Egy adott szám annyi háromtagú összegben szerepel, ahányféleképpen a többi

49

számból ki tudunk választani kettőt. Így minden szám

(\binom{49}{2})

-ször szerepel az összegben, vagyis a háromtagú összegek összege

100 \cdot (\binom{49}{2})

. A háromtagú összegek száma másfelől

(\binom{50}{3})

.
Mivel

100 \cdot (\binom{49}{2}) = 6 \cdot (\binom{50}{3})

, ezért a második megoldás befejezése szerint adódik, hogy a számhármasok között van olyan, amelyben a számok összege legalább

6

Megjegyzések. 1. A feladat kézenfekvő módon általánosítható: ha adott

n

darab szám, melyek összege

A

, akkor minden

1

és

n

közé eső

k

-ra kiválasztható az

n

darab szám közül

k

úgy, hogy az összegük legalább

k \cdot \frac{A}{n}

legyen. Bármelyik megoldás gondolatmenete elvezet a most kimondott állítás bizonyításához.

2. Érdemes megemlíteni, hogy a harmadik megoldásban lényegében azt láttuk be, hogy ha

n

darab szám átlaga

T

, akkor minden

1

és

n

közé eső

k

-ra az

n

számból készíthető összes lehetséges

k

-tagú összegek átlaga

k \cdot T

3. A második megoldásból kiderül, hogy nem is egy olyan számhármas van, amelyben a számok összege legalább

6

. Ha például az alábbi permutációból kiindulva képezzük az

50

darab összeget:

\begin{matrix} a_{1}, a_{3}, a_{5}, ..., a_{47}, a_{49}, a_{2}, a_{4}, ..., a_{48}, a_{50}, \end{matrix}

akkor az így adódó

6

-nál nem kisebb összeg biztosan különbözik attól, amit a második megoldásban felírt permutációból kapunk. Nem látszik könnyűnek annak a kérdésnek a vizsgálata, hogy az adott feltételek esetén legalább hány olyan számhármas létezik, amelyben a számok összege legalább

6