Feladat: Gy.2038 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1983/január, 14. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Skatulyaelv, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/március: Gy.2038

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük az [1; 2], [2; 4], [4; 8], [8; 16], [16; 32], [32; 64], zárt intervallumokat. Ha A≤64 ‐ és természetesen nagyobb, mint 1 ‐, akkor bárhogy is adunk meg 1 és A között hét valós számot, a fenti hat intervallum között mindig van olyan, amelyben a hét szám közül legalább kettő található. Ennek a kettőnek a hányadosára pedig teljesül a feltétel. Így a keresett szám legalább 64.

 

Ha A>64=26, akkor A6>2. Így A6 bármely két egész kitevőjű hatványának is 2-nél nagyobb ‐ vagy 1/2-nél kisebb ‐ a hányadosa. Mivel pedig A6-nak a 0-adik, első, második, ..., hatodik hatványa 1 és A között van, és a hét szám közül most semelyik kettő hányadosára nem teljesül a feltétel, ezért a keresett A szám nem lehet nagyobb, mint 64.
A keresett szám tehát a 64.
 

Megjegyzés. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha a szövegben szereplő "között'' értelmezésekor nem engedjük meg az egyenlőséget. A bizonyítás első fele szóról szóra elismételhető, az A>64 esetben pedig A6 helyett egy 64 és A közé eső B számból ‐ tehát amelyre A>B>64 ‐ kell kiindulnunk. Ehhez létezik olyan C szám, melyre C>1, másrészt még C⋅B is kisebb, mint A. Ha most C-t rendre megszorozzuk a 2-nél nagyobb B6 első hét nemnegatív egész kitevőjű hatványával, akkor a kapott hét szám mindegyike nagyobb, mint 1, és kisebb, mint A, másrészt semelyik kettő hányadosára nem teljesül a mondott feltétel.