Kezdőlap


Feladat:	Gy.2036	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/december, 208 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/február: Gy.2036

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen adva az $A B C$ háromszög. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $A C \geq B C$ és az $f_{c}$ , szögfelezőhöz keressük a megfelelő párhuzamos $e$ egyenest. Általában jelölje $(P Q R)$ a $P, Q, R$ pontok által meghatározott háromszög területét. Ha a szögfelező az $A B$ oldalt $D$ -ben metszi és $A C = B C$ , akkor nyilván a szögfelező a megfelelő egyenes. Ha $A C > C B$ , akkor $(C B D) \leq (C D A)$ és a keresett $e$ egyenes az $A B$ oldalt a $D A$ szakaszon metszi, legyen ez az $X$ , továbbá $e$ és $A C$ metszéspontja $Y$ .

Úgy akarjuk az

X Y

egyenest felvenni, hogy teljesüljön az

\begin{matrix} 2 (A X Y) = (A B C) \end{matrix}

egyenlőség.
Az

A C D

és

A Y X

hasonló háromszögekben jelöljük az oldalhosszak arányát

\frac{A X}{A D} = λ

-val. Továbbá a szögfelező osztásarányára vonatkozó ismert összefüggés szerint

\begin{matrix} \frac{A D}{A B} = \frac{A C}{A C + C B}, \end{matrix}

\epsfbox{1982-12-208-1.eps}
\epsfbox{1982-12-208-2.eps}

ahonnan

\begin{matrix} A D = A B \cdot \frac{A C}{A C + C B} . \end{matrix}

(1)

Ezt helyettesítve

\begin{matrix} λ = A X \frac{A C + C B}{A B \cdot A C} . \end{matrix}

(2)

Mivel hasonló idomok területének aránya az oldalak arányának négyzetével egyenlő,

\begin{matrix} (A X Y) = λ^{2} (A D C), \end{matrix}

ahova

λ

(2)-beli értékét helyettesítve

\begin{matrix} (A X Y) = A X^{2} {(\frac{A C + C B}{A B \cdot A C})}^{2} (A D C) . \end{matrix}

(3)

Másrészt az

A B C

és

A D C

háromszögekben

A B

, ill.

A D

oldalakhoz tartozó magasság egyezik, ezért területük aránya az

A D

és

A B

alapok arányával egyenlő, azaz (1) felhasználásával

\begin{matrix} \frac{(A D C)}{(A B C)} = \frac{A D}{A B} = \frac{A C}{A C + C B} . \end{matrix}

Innen

(A D C)

értékét (3)-ba helyettesítve és felhasználva, hogy

(A B C) = 2 (A X Y)

, kapjuk, hogy

\begin{matrix} (A X Y) = A X^{2} {(\frac{A C + C B}{A B \cdot A C})}^{2} \cdot \frac{A C}{A C + C B} (A B C) = A X^{2} \cdot \frac{A C + C B}{A B^{2} \cdot A C} 2 (A X Y) . \end{matrix}

Ebből

A X

-re a következő értéket kapjuk:

\begin{matrix} A X = \sqrt[]{\frac{A B^{2} (A C)}{2 (A C + C B)}} = \sqrt[]{\frac{A B}{2} \cdot \frac{A C \cdot A B}{A C + C B}} = \sqrt[]{\frac{A B}{2} \cdot A D} . \end{matrix}

Leolvashatjuk az összefüggés geometriai jelentését, mely szerint az

A X

szakasz mértani középarányosa az

A D

és az

\frac{A B}{2}

, szakaszoknak.

A X

szakasz tehát könnyen szerkeszthető pl. a derékszögű háromszögekre vonatkozó befogó tétel segítségével (lásd az ábrát). Mindegyik szögfelezőhöz található ily módon egy vele párhuzamos egyenes, amely a háromszög területét felezi.