A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen adva az háromszög. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy és az , szögfelezőhöz keressük a megfelelő párhuzamos egyenest. Általában jelölje a pontok által meghatározott háromszög területét. Ha a szögfelező az oldalt -ben metszi és , akkor nyilván a szögfelező a megfelelő egyenes. Ha , akkor és a keresett egyenes az oldalt a szakaszon metszi, legyen ez az , továbbá és metszéspontja . Úgy akarjuk az egyenest felvenni, hogy teljesüljön az egyenlőség. Az és hasonló háromszögekben jelöljük az oldalhosszak arányát -val. Továbbá a szögfelező osztásarányára vonatkozó ismert összefüggés szerint \epsfbox{1982-12-208-1.eps} \epsfbox{1982-12-208-2.eps}
ahonnan Ezt helyettesítve Mivel hasonló idomok területének aránya az oldalak arányának négyzetével egyenlő, ahova (2)-beli értékét helyettesítve | | (3) |
Másrészt az és háromszögekben , ill. oldalakhoz tartozó magasság egyezik, ezért területük aránya az és alapok arányával egyenlő, azaz (1) felhasználásával Innen értékét (3)-ba helyettesítve és felhasználva, hogy , kapjuk, hogy | | Ebből -re a következő értéket kapjuk: | |
Leolvashatjuk az összefüggés geometriai jelentését, mely szerint az szakasz mértani középarányosa az és az , szakaszoknak. szakasz tehát könnyen szerkeszthető pl. a derékszögű háromszögekre vonatkozó befogó tétel segítségével (lásd az ábrát). Mindegyik szögfelezőhöz található ily módon egy vele párhuzamos egyenes, amely a háromszög területét felezi. |