Kezdőlap


Feladat:	Gy.2034	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/december, 207 - 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek egybevágósága, Trapézok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/február: Gy.2034

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Könnyű belátni, hogy az adott $T = A B C D$ trapéz nem egyenlő szárú. Jelölje $A B = 20 cm$ a hosszabbik alapot. Erre $C$ , ill. $D$ -ből állított merőleges talppontjai rendre $T_{1}$ és $T_{2}$ .

1. ábra

Mivel valamelyik szár

45^{\circ}

-os szöget zár be az alappal, pl.

A D

, az

A D T_{2}

derékszögű háromszög egyenlő szárú, és ezért

A T_{2} = D T_{2} = 2 cm

, s így

T_{1} B = 1 cm

. A felosztásban szereplő valamennyi idomnak kell, hogy legyen a

D A T_{2}

, ill.

C B T_{1}

szöggel egyenlő nagyságú szöge. Toljuk el ezért

C T_{1} B

-t úgy, hogy

D T_{2}

és

C T_{1}

fedésbe kerüljön, s próbáljuk meg az

A D B

háromszöggel egybevágó háromszögekre felosztani

T

-t. A következő háromszög az

A D B'

-höz képest

180^{\circ}

-kal elfordított helyzetben illeszkedik

A D B'

-höz, és így tovább. Minthogy azonban egy kis háromszögnek a trapéz párhuzamos oldalain fekvő oldala

3 cm

, a trapéz alapjainak hosszai viszont nem többszörösei

3

-nak, így a felosztást biztosan nem tudjuk Próbálkozzunk most más síkidommal.
Azt már láttuk az előbb, hogy a felosztó szakaszoknak a trapéz valamelyik szárával párhuzamosoknak kell lenniük. Ha pl.

A D

-től indulunk el, az első osztószakasz

B C

-vel lesz párhuzamos és most ne menjen át

D

-n.

2. ábra

A következő osztószakasz

A D

-vel párhuzamos és így tovább. Az is nyilvánvaló, hogy az így kapott idomok trapézok lesznek, alapjaik különbsége

3 cm

, és mivel

T

nem szimmetrikus, számuk páratlan lesz.
Jelölje

2 k + 1

a kis trapézok számát és

x > 0

a rövidebbik párhuzamos oldaluk hosszát. Akkor

T

hosszabbik oldalára az

x + 3

hosszúságú szakaszt

(k + 1)

-szer, az

x

hosszúságút

k

-szor akarjuk felmérni, azaz

\begin{matrix} (k + 1) (x + 3) + k x = 20, \end{matrix}

3. ábra

ahonnan

\begin{matrix} x = \frac{17 - 3 k}{2 k + 1}, és mivel x > 0, k < \frac{17}{3} . \end{matrix}

k

lehetséges értékei és a megfelelő

x

értékek:

\begin{matrix} \begin{matrix} k \end{matrix} \end{matrix}

Ezek a felosztások valóban léteznek is, pl.

k = 1

-re

x = 4 \frac{2}{3}