Kezdőlap


Feladat:	Gy.2032	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alexy N. , Balla B. , Beleznay Á. , Burányi Á. , Buzás M. , Böröczky L. , Csillag P. , Csiszer Z. , Erdős 228 L. , Fodor Gy. , Galgóczi 996 J. , Gulyás Éva , Gyulánszky Zs. , Herendi T. , Hetyei J. , Horváth 290 P. , Hraskó A. , Ilosvay F. , Joó 563 P. , Kelemen Cs. , Kerner A. , Komorowicz J. , Marosvári 531 Zs. , Megyesi G. , Mócsi M. , Nagy 369 J. , Rónaszéki I. , Selyem I. , Simon P. , Somogyi 296 A. , Strauss Gy. , Tóth B. , Verhás P.
Füzet:	1982/november, 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/február: Gy.2032

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a tört nevezőjét $A$ -val, és legyen $B$ az a maradék, amely után az osztást a szokásos módon, jegyenként végezve az $1$ számjegyet kapjuk. Jelöljük a soron következő maradékokat $C$ -vel, $D$ -vel, $E$ -vel, akkor az osztás során kapott egyes számjegyek jelentése szerint

\begin{matrix} 10 B & = A + C, \\ 10 C & = 6 A + D, \\ 10 D & = 7 A + E, \end{matrix}

és

0 ≦ B

C

D

E < A

. Ez utóbbi egyenlőtlenségek miatt

\begin{matrix} 7 A & ≦ 10 D < 8 A, \\ 67 A & ≦ 100 C < 68 A, \\ 167 A & ≦ 1000 B < 168 A, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{1000 B}{168} < A \leq \frac{1000 B}{167} . \end{matrix}

Írjuk itt más alakba

B

együtthatóit

\begin{matrix} 6 B - \frac{B}{21} < A ≦ 6 B - \frac{2 B}{167} . \end{matrix}

(1)

Mivel

A

B

egész számok, ebből

B > 21

következik, mert különben

A

-nak

6 B - 1

és

6 B

közti egésznek kellene lennie, ami nyilván lehetetlen. Ha viszont

B ≧ 22

, akkor (1) első egyenlőtlenségéből

A ≧ 131

következik, tehát valóban hibázott, aki

A < 100

mellett jutott az

1

6

7

számjegyekhez.

Megjegyzések. 1. Megoldásunkban kicsit többet kaptunk annál, amit a feladat kért, hiszen megkaptuk a legkisebb nevezőt, amely mellett a

... 167 ...

blokk felléphet.

A ≧ 131

mellett viszont valóban fellép, ilyen példa

\begin{matrix} \frac{22}{131} = 0, 167 9389 ... \end{matrix}

2. Kevés dolgozat érkezett, még kevesebb hibátlan. Ezek jó része az

A ≦ 16

eseteket egyenként vizsgálta, kevés volt a szép megoldás. Akadt olyan is, aki mind a 98 esetet külön megvizsgálta. Gyakori hiba volt, hogy a bevezetett új változók jelentése a megoldó előtt sem volt egyértelmű, például kezdetben mást jelentett, mint később. Volt, aki azt hitte, hogy a

7

után már véget ér az osztás, és a

B / A = 0, 167

feltételből indult ki. Mások úgy értelmezték a feladat szövegét, hogy az

1

6

7

számok a jegyenkénti osztásban bukkannak elő, és így ellenpéldát találtak:

\begin{matrix} \binom{17 : 94}{76} \binom{= 0,1}{} \end{matrix}

Mindennek a sok tévedésnek talán az volt az oka, hogy a feladat ártatlanabbnak látszik, mint amilyen.