Kezdőlap


Feladat:	Gy.2031	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1982/december, 206. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Gyakorlat, Egészrész, törtrész függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/február: Gy.2031

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tört nevezőjét gyöktelenítve kapjuk, hogy $S = 2 n + 2 +$ $+ 2 \sqrt[]{n (n + 1)}$ , így $S$ egész része $(2 n + 2) + [2 \sqrt[]{n (n + 1)}]$ , hiszen $2 n + 2$ egész. Mivel $n^{2} < n (n + 1) < {(n + \frac{1}{2})}^{2},$ így,

\begin{matrix} 2 n = 2 \sqrt[]{n^{2}} < 2 \sqrt[]{n (n + 1)} < 2 {\sqrt[]{(n + \frac{1}{2})}}^{2} = 2 n + 1. \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy

[2 \sqrt[]{n (n + 1)}] = 2 n

, tehát

S

egész része

4 n + 2

. Azonban ismert, hogy páros szám négyzete osztható

4

-gyel, páratlan szám négyzete pedig

4

-gyel osztva

1

maradékot ad. Nincs tehát olyan egész, amelynek a négyzete

4

-gyel osztva

2

maradékot ad, emiatt

S

egész része valóban nem lehet teljes négyzet.