Kezdőlap


Feladat:	Gy.2028	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bangha I. , Bujdosó L. , Burányi Á. , Durst J. , Erdős L. , Fodor Gy. , Gáspár R. , Giba P. , Hraskó A. , Katona Gy. , Kerner A. , Krupa A. , Ladányi L. , Lázár G. , Lédeczi Á. , Megyesi G. , Pintér G. , Rátkay G. , Selyem I. , Szabó 112 T. , Szabó 741 Z. , Szabó A. , Szakállas Gy. , Vas E.
Füzet:	1982/október, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/január: Gy.2028

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A_{0} A_{1}$ egyenes azonos a keresett háromszög $B C = a$ oldalának egyenesével. Ha erre $A_{2}$ -ből merőlegest állítunk, megkapjuk a háromszög $A$ -ból induló $m_{a}$ magasságvonalát. Továbbá azt is tudjuk, hogy $m_{a}$ és $B C$ metszéspontjától az $A$ csúcs kétszer olyan messzire van, mint az $A_{2}$ . Ezzel sikerült az $A$ csúcs helyét meghatároznunk. A további két csúcs meghatározásához vegyük észre, hogy ha $A_{0}$ pontban $B C$ -re merőlegest állítunk, ez a keresett háromszög körülírt körét $F$ pontban metszi és $B F = F C$ miatt $F$ egyben a $B A C ∢$ szögfelezőjén, $A A_{1}$ -en is rajta van. $F$ ismeretében könnyen meghatározhatjuk a körülírt kör $O$ középpontját, ez ugyanis az $A F$ és $B C$ húrok felezőmerőlegeseinek metszéspontja. A körülírt kör fogja kimetszeni az $A_{0} A_{1}$ egyenesből a hiányzó $B$ és $C$ csúcsait a háromszögnek.

A szerkesztés menetéből következik, hogy ha a háromszög létrejön, akkor eleget tesz a feltételeknek.
Most vizsgáljuk meg, milyen feltételek mellett jön létre a kívánt háromszög. Először is feltehetjük, hogy a pontok mind különbözők, továbbá hogy nincs mind a három egy egyenesen. Ha ugyanis

A_{2}

illeszkedne az

A_{1} A_{0}

egyenesre, akkor

A

is ezen az egyenesen lenne, és így nem jöhetne létre a háromszög. Másodszor, mivel az

F

pontnak a

B C

egyenesnek az

A

-t nem tartalmazó partján kell létrejönnie, kell hogy

A A_{1} A_{0}

tompaszög legyen, de ekkor

A_{0} A_{1} A_{2} ∢

is tompaszög, hiszen az

A A_{2}

egyenes merőleges az

A_{0} A_{1}

egyenesre és

A_{2}

A

A_{0} A_{1}

egyenes ugyanazon partján van. Ilyen feltételek mellett a

B C

és

A F

felezőmerőlegesek metszéspontja,

O

mindig létrejön, hiszen

B C

nem lehet párhuzamos

A F

-fel.
Azaz ha

A_{0}

A_{1}

A_{2}

, pontok különbözők és nem esnek egy egyenesbe, valamint

A_{2} A_{1} A_{0} ∢

tompaszög, akkor a háromszög mindig egyértelműen megszerkeszthető.
Végül vizsgáljuk meg azokat az eseteket, amikor két pont egybeesik. Nyilván

A_{2}

nem eshet egybe sem

A_{1}

-gyel, sem

A_{0}

-val. Ha

A_{0}

azonos

A_{1}

-gyel, de

A_{2}

-vel nem, akkor az

A

-ból induló szögfelező a szemközti oldalt annak felezőpontjában metszi, azaz a háromszög egyenlő szárú. Ekkor

A_{0} A_{2}

egyenes a háromszög magasságvonala és

2 A_{0} A_{2} = A_{0} A

ismeretében az

A

csúcs helye megszerkeszthető. Az

A_{0}

ponton átmenő

A_{0} A

-ra állított merőlegesen tetszőlegesen kijelölhetjük a

B

csúcs helyét. Ennek

A_{0}

-ra való tükörképe lesz a

C

csúcs. Az így kapott

A B C

háromszög valóban eleget tesz a feltételeknek, és ebben az esetben a feladatnak számtalan sok megoldása van.